专题27 四边形中由动点引起的分类讨论问题(解析版)

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专题 27 四边形中由动点引起的分类讨论问题
【题型演练】
一、单选题
1．如图，点 为矩形 的对称中心，动点 从点 出发沿 向点 移动，移动到点 停止，延长
交 于点 ，则四边形 形状的变化依次为（）
A．平行四边形一矩形一平行四边形一矩形 B．平行四边形一矩形一菱形一矩形
C．平行四边形一菱形一平行四边形一矩形 D．平行四边形一菱形一平行四边形
【答案】C
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形 形状的变化情况：这个四边形先是平
行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点 A与点 重合时是矩形．
【详解】解：观察图形可知，四边形 形状的变化依次为平行四边形 菱形 平行四边形 矩形．
故选 C．
【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据 与 的位
置关系即可求解．
2．矩形 的边 上有一动点 ，连接 、 ，以 、 为边作平行四边形 ．在点 从
点 移动到点 的过程中，平行四边形 的面积（）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变
【答案】D
【分析】过点 E作EG⊥AD 于G，证四边形 ABEG 是矩形，得出 EG＝AB，
，即可得出结论．
【详解】解：过点 E作EG⊥AD 于G，如图所示：
则∠AGE＝90°，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形 ABEG 是矩形，
∴EG＝AB，
∵四边形 AEDF 是平行四边形，
∴ ，
即 的面积保持不变，故 D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的
性质，证出 的面积＝矩形 ABCD 的面积，是解题的关键．
3．如图，在四边形 ABCD 中， ，点 P是四边形 ABCD
边上的一个动点．若点 P到AC 的距离为 ，则点 P的位置有（）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】C
【分析】根据勾股定理和含 30 度角的直角三角形的性质，可以求得 AC、AD、BC 和AB 的长，然后即可得
到点 D到AC 的距离和点 B到AC 的距离，从而可以得到满足条件的点 P有几处，本题得以解决．
【详解】
解：过点 B作 于点 F，过点 D作 于点 E，
∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°，
∴AC=4， ，
∴在 Rt△ADC 中，斜边 AC 上的高 ，
∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°，
∴ ， ，
∴AB=BC=，
∴在 Rt△ABC 中，斜边 AC 上的高 ，
∵ ，点 P是四边形 ABCD 边上的一个动点，点 P到AC 的距离为 ，
∴点 P的位置在点 D处，或者边 BC 上或者边 AB 上，
即满足条件的点 P有3处．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、含 30 度角的直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是求出满足条
件的点 P所在的位置．
4．如图，在正方形 ABCD 中，点 P是AB 上一动点（不与 A、B重合），对角线 AC、BD 相交于点 0，过
点P分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F．交 AD、BC 于M、N．点从从下列结论：① PM
＋PN＝AC；② ；③点 O在M、N两点的连线上；④ OP 平分∠MPN；⑤四边形 PEOF 不
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