专题26.1 反比例函数（一）（知识解读）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

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专题 26.1 反比例（知识解读）

【直击考点】

【学习目标】

1. 理解反比例函数的概念和意义；

2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题

【知识点梳理】

考点 1 反比例函数的定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成

反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.

一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中是自变量，

是函数，自变量的取值范围是不等于 0 的一切实数.

注意：

（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量

的取值范围是，函数的取值范围是 .故函数图象与轴、轴无交点.

（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量的指数是－1，在解决

有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.

（3） ( )也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例

系数，从而得到反比例函数的解析式.

考点 2 反比例的图像和性质

1、反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第

二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠

近两坐标轴.

注意：

（1）若点( )在反比例函数的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比

例函数的图象关于原点对称；

（2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于，所以两个分支都

无限接近但永远不能达到轴和轴．

2、画反比例函数的图象的基本步骤：

（1）列表：自变量的取值应以 0 为中心，在 0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的

值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小

到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐

标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、

三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．

3、反比例函数的性质

（1）如图 1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，

值随值的增大而减小；

（2）如图 2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，

值随值的增大而增大；

注意：

（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比

例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数

的增减性，也可以推断出的符号.

（2）反比例的图像关于原点的对称

【典例分析】

【考点 1 反比例的定义】

【典例 1】写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.

（1）当圆锥的体积是 150cm³ 时，它的高（cm）与底面积（cm²）的函数关系式；

（2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式；

（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花 1000 朵，完成的天数与该班同学

每天制作的数量之间的函数关系式；

【变式 1-1】写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数．

(1)功是 50

时，力

与物体在力的方向上通过的距离

的函数关系；

(2)如果密铺地面使用面积为

cm2的长方形地砖，铺得的面积为

cm2(

＞0)，那么所需的

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