专题26 相似三角形中由动点引起的分类讨论问题(解析版)

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专题 26 相似三角形中由动点引起的分类讨论问题
【题型演练】
一、单选题
1．如图，在 中， ， 于点 D，下列结论错误的有（）个
①图中只有两对相似三角形；② ；③若 ，AD＝8，则 CD＝4．
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】A
【分析】①根据相似三角形判定判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形的性质求出 BD，再利
用勾股定理求出 CD 即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴ ，
∵ ，
∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误，
∵S△ACB=AC•BC=AB•CD，
∴BC•AC=AB•CD，故②正确，
∵△CBD∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴BD=2 或-10（舍弃），
在Rt△CDB 中，CD=，故③正确，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解
决问题，属于中考常考题型．
2．在 中， ， ，点 为线段 上一点，以 为一边构造 ，
， ，下列说法正确的个数是（）
①图中和 相等的角有 2个（不含 ）；②若不添加线段，图中共有 5对相似三角形；③
；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理进
行证明即可得出答案．
【详解】在 中， ， ，在 ， ， ，
，
，
，即 ，
，
在 和 中，
，
，
，故图中和 相等的角有 2个（不含 ），①正确；
，
，
，
，故若不添加线段，图中共有 5对相似三角形，②正确；
，即 ，故③正确；
连接 CD，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上，说法正确的由①②③④；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股
定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．如图，在直角梯形 ABCD中，AD BC∥，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3， BC＝4．点 P为 AB边上
一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点 P的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由于∠PAD＝∠PBC＝90°，故要使△PAD 与△PBC 相似，分两种情况
讨论：①△APD BPC∽△ ，②△APD BCP∽△ ，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 AP
的长，即可得到 P点的个数．
【详解】∵AB BC⊥，
∴∠B＝90°，
∵AD BC∥，
∴∠A＝180° B﹣∠ ＝90°，
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