专题25 直角三角形中由动点引起的分类讨论问题(解析版)

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专题 25 直角三角形中由动点引起的分类讨论问题

【模型展示】

特点

解直角三角形的动点问题，一般分三步走

第一步寻找分类标准，

第二步列方程，

第三步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直

角三角形，这样列比例方程比较简便．

结论直角三角形的性质并能灵活应用

【题型演练】

一、单选题

1．如图，M，A，N是直线 l上的三点，，P是直线 l外一点，且，若动点

Q从点 M出发，向点 N移动，移动到点 N停止，在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是

（）

A．直角三角形--等边三角形--直角三角形--等腰三角形

B．直角三角形--等腰三角形--直角三角形--等边三角形

C．等腰三角形--直角三角形--直角三角形--等腰三角形

D．等腰三角形--直角三角形--等边三角形 --直角三角形

【答案】D

【分析】根据，按照在线段和线段上进行分类讨论即可．

【详解】解：∵ ，

∴ ，

①当在线段上，只能形成等腰三角形，当时，为等腰三角形；

②当在线段上时，逐渐减小，

当时，为直角三角形，此时；

当时，为等边三角形，此时；

当时，∵ ，∴ ，∴ 为直角三角形，此时

；

∴ 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形--直角三角形--等边三角形 --直角三

角形；

故选 D．

【点睛】本题考查特殊三角形的判定．熟练掌握等腰三角形、直角三角形和等边三角形的判定方法是解题

的关键．

二、填空题

2．如图，中，，， cm，为的中点，若动点以 1cm/s的速

度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当

是直角三角形时，的值为_____________．

【答案】2或3.5 或4.5 或6

【分析】先求出 AB 的长，再分①∠BDE＝90°时，DE 是△ABC 的中位线，然后求出 AE 的长度，再分点 E

在AB 上和在 BA 上两种情况列出方程求解即可；②∠BED＝90°时，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股

定理求出 BE，然后分点 E在AB 上和在 BA 上两种情况列出方程求解即可．

【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,

∴ ，AB＝2BC＝4（cm），

①∠BDE＝90°时，

∵ ，

∴ ，

∴

∴AE＝（cm），

点E在AB 上时，t＝2÷1＝2（秒），

点E在BA 上时，点 E运动的路程为 4×2−2＝6（cm），

∴t＝6÷1＝6（秒）；

②∠BED＝90°时，BE＝＝0.5（cm），

点E在AB 上时，t＝（4−0.5）÷1＝3.5（秒），

点E在BA 上时，点 E运动的路程为 4＋0.5＝4.5（cm），

t＝4.5÷1＝4.5（秒），

∵

综上所述，t的值为 2或3.5 或4.5 或6，

故答案为：2或3.5 或4.5 或6．

【点睛】本题考查了含 30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论．

3．如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将

沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________．

【答案】或 5

【分析】分两种情况进行分类讨论：①当时，求 CE 的长；②当时，求 CE 的长．

【详解】解：①如图 1，当时，，

，

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