《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）》第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型（原卷版）

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第1讲 平面向量的概念及线性运算 4种题型
【考点分析】
考点一：向量的基本概念
①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
②向量的模：向量 的大小，也就是向量 的长度，叫做向量的模，记作 ．　
③零向量：长度为 0的向量，其方向是任意的．
④单位向量：长度等于 1个单位的向量．
⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点二：向量的线性运算和向量共线定理
①向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算
a
+
b
b
a
a
+
b
b
a
三角形法则 平行四边形法则
①交换律
②结合律
减法
求 与 的相反向量
的和的运算叫做
与 的差
b
a
a
-
三角形法则
数乘
求实数 与向量 的
积的运算
(1)
(2) 当 时 ， 与 的 方 向 相
同；当 时， 与 的方向相
同；
当 时，
考点三：向量共线定理
①如果 且 ，则 ；反之 且 ，则一定存在唯一一个实数 ，使 ．
推论：
②三点 ， ， 共线 ， 共线（功能：证明三点共线）；
③向量 ， ， 中三个向量的终点 ， ， 共线 存在实数 ， 使得 ，且
④ ， ．
【题型目录】
题型一： 平面向量的概念
题型二： 平面向量的加法、减法
题型三： 平面向量的线性运算与共线定理
题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状
【典型例题】
题型一： 平面向量的概念
【例 1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为 0；③零向量的方向是任意的；④单位
向量的模都相等.其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例 2】下列命题中正确的是（）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若 与 是共线向量，则点 A，B，C，D必在同一条直线上
【例 3】有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若 ，则 ， 不是共线向量； ③若 ，则四边形 是平行四边形；
④若 ， ，则 ； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例 4】设 为单位向量，①若 为平面内的某个向量，则 ＝| | ；②若 与 平行，则 ＝| | ；③
若 与 平行且| |＝1，则 ＝ ．上述命题中，假命题的个数是
A．0B．1　　 C．2　　 　 D．3
【例 5】下列命题中，正确的个数是（）
①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若 满足 ，且 与 同向，则
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若 ，则
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例 6】（多选题）下面关于向量的说法正确的是（----）
A．单位向量：模为 的向量
B．零向量：模为 的向量，零向量没有方向
C．平行 共线 向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【例 7】（多选题）下列叙述中错误的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则 与 的方向相同或相反
C．若 ， ，则 D．对任一非零向量 ， 是一个单位向量
【题型专练】
1.下列命题正确的是（　　）
A．向量 与 是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行
2.下列命题中正确的个数是（）
①若向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量 与向量 平行，则 ， 方向相同或相反；
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