《2023届高考数学二轮复习不等式妙招》4权方和不等式-原卷版
第 4 讲 权方和不等式
知识与方法
柯西不等式:对于任意的 恒有不等式 .
对柯西不等式变形,易得 .
在 时,我们就有了: ,当 时,等号成立.
这就是我们今天要讲的权方和不等式.
当然,柯西不等式有多维形式,同理权方和也可以拓展成多维形式:
若 ,则 成立,当 时,等号成立.
权方和不等式还可以推广为如下形式:
若 ,则 成立,当 的时,
等号成立.
观察特征, 成为该不等式的权,它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高 1 次.
利用权方和不等式可以巧妙的解决一些多元最值问题.下面就从一些我们常见的模拟题中举例
说明权方和在求最值中的应用.
典型例题
【例 1】已知 为正实数,若 ,则 的最小值为 .
【例 2】设 , ,若 ,则 的最小值为( )
A. B.6 C. D.
【例 3】已知实数 满足 且 ,则 的最小值
是
【例 4】已知
a>0, b>0
, 且
2
a+2+1
a+2b=1
, 则
a+b
的最小值是
【例 5】 设
x , y
是正实数, 且
x+y=1
, 则
x2
x+2+y2
y+1
的最小值是
【例 6】已知
a>1, b>1
, 则
a2
b −1+b2
a − 1
的最小值是
强化训练
1.对任意实数
x>1, y >1
2
, 不等式
x2
a2(2y − 1)+4y2
a2(x − 1)⩾1
恒成立, 则实数
a
的最大值为 ( ).
A. 2 B. 4 C.
√
14
2
D.
2
√
2
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