《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第21讲 导数的八种解题模型（原卷版）

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第 21 讲 导数的八种解题模型
【考点梳理与解题技巧】
一．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿 y＝f（x）来说，当自变量 x由x1变化到 x2时，其函数
y＝f（x）的函数值由 f（x1）变化到 f（x2），它的平均变化率为 ．把（x2﹣x1）叫做自变
量的改变量，记做△x；函数值的变化 f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率
可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 ＝ ．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：
＝ ．当△x趋于 0时，平均变化率就趋于函数在 x1点的瞬时变化率，瞬时变化
率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数 f（x）在 x＝x0处时的瞬时变化率是函数 y＝f（x）在 x＝x0处的导数，记作 f′（x0）或 y′|x＝x0，即
f′（x0）＝
【典例例题分析】
典例 1：一质点的运动方程是 s＝5 3﹣t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（　　）
A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t6 ﹣D．﹣3△t6﹣
分析：分别求出经过 1秒种的位移与经过 1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时
间，建立等式关系即可．
解： ，
故选 D．
点评：本题考查函数的平均变化率公式： ．注意平均速度与瞬时速度的区别．
典例 2：一质点运动的方程为 s＝8 3﹣t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在 t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为 进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为 当△t趋向于 0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即
s＝8 3﹣t2在t＝1处的导数值，故只需求 t＝1时函数 s＝8 3﹣t2的导函数值即可获得问题的解答．
解答：由题意可知：
（1）∵s＝8 3﹣t2
∴△s＝8 3﹣（1+△t）2﹣（8 3×1﹣2）＝﹣6△t3﹣（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为： ．
（2）定义法：质点在 t＝1时的瞬时速度为 ．
求导法：质点在 t时刻的瞬时速度 v＝s′（t）＝（8 3﹣t2）′＝﹣6t，
∴当 t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．
点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移 s与时间 t的关系式求导可
得瞬时速度与时间 t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极
限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．
【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0 时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数 y＝f（x）在 x＝x0处的导数特别提醒：
①当△x→0 时，比值 的极限存在，则 f（x）在点 x0处可导；若 的极限不存在，则 f（x）在点 x0
处不可导或无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可
负，也可以为 0．
③在点 x＝x0处的导数的定义可变形为：
f′（x0）＝ 或 f′（x0）＝
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）＝ ；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数 f′（x）与原来的函数 f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数 f′（x）在 x0处的函数值即为函
数f（x）在点 x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
二．导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数 f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称 f（x）在（a，b）上可导，则可建立 f（x）的导函数，
简称导数，记为 f′（x）；
如果 f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点 a处的右导数和端点 b处的左导数都存在，则称 f（x）在闭
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