《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》1.2 空间向量基本定理（解析版）

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考点讲解
1.2 空间向量基本定理
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间向量基底的概念；用空间基底表示向量；空
间向量基本定理的应用
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯
一的有序实数组 ，使 .
若三向量 不共面，我们把 叫做空间的一个基底， 叫做基向量，
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
推论：设 是不共面的四点，则对空间任一点 ，都存在唯一的三个有序实
数 ，使 .
考点 1：空间向量基底的概念
例1．已知 是空间一个基底， ， ，一定可以与向量 ， 构成空间
另一个基底的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意和空间向量的共面定理，
结合向量 （ ）+（ ）＝2，
得 与 是共面向量，
同理 与 是共面向量，
所以 与 不能与 、 构成空间的一个基底；
又 与 和 不共面，
所以 与 、 构成空间的一个基底．
故选：C．
【方法技巧】
1.根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念判断
2.根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可
判断出结论．
【变式训练】
【变式 1】．在空间四点 O，A，B，C中，若 是空间的一个基底，则下列命
题不正确的是（）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基底的含义，非零向量 不在同一平面内，即 O，A，B，C四点不共面，
即可判断
【详解】
因为 为基底，所以非零向量 不在同一平面内，
即O，A，B，C四点不共面，
所以 A、C、D选项说法正确，B错误．
故选：B
【变式 2】（多选）．已知 ， ， 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， 两两共面，则 ， ， 共面
C．对于空间的任意一个向量 ，总存在实数 ， ， ，使得
D．若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
【答案】AD
【解析】
【详解】
根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.
【解答】
解： ， ， 是空间的三个单位向量，
由 ， ，则 ，故 A正确；
， ， 两两共面，但是 ， ， 不一定共面， ， ， 可能两两垂直，故 B错误；
由空间向量基本定理，可知只有当 ， ， 不共面，才能作为基底，才能得到
，故 C错误；
若 是空间的一组基底，则 ， ， 不共面，可知 也不共面，
所以 也是空间的一组基底，故 D正确．
故选：AD.
【变式 3】．已知空间四边形 各边及对角线长都相等， 分别为 的中点，
求 与 夹角余弦值．
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