《2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）》6.2.3组合+6.2.4组合数(精讲）（解析版）

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6.2.3 组合+6.2.4 组合数 (精讲）
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型 1: 组合的概念
题型 2：组合数的计算、化简与证明
题型 3：有限制条件的组合问题
题型 4：排列、组合的综合应用
题型 5：与几何图形有关的组合问题
题型 6：分组、分配问题
三、高考（模拟）题体验
目录
一、必备知识分层透析
知识点 1：组合
（1）定义：一般地：从 个不同的元素中取出 ( )个元素作为一组，叫做从 个不同元素中取出
个元素的一个组合.
（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
（3）组合与排列的异同
相同点:组合与排列都是“从 个不同的元素中取出 ( )个元素”.
不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区
分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结
果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.
知识点 2：组合数与组合数公式
（1）组合数的定义：从 个不同元素中取出 ( )个元素的所有不同组合的个数,叫做从 个不同元
素中取出 个元素的组合数,用符号 表示.
（2）组合数公式
或： （ ， ）.
规定：
知识点 3：组合数的性质
（1）性质 1：
（2）性质 2：
二、重点题型分类研究
题型 1: 组合的概念
典型例题
例题 1．（2022·高二课时练习）以下四个问题，属于组合问题的是（¡¡¡¡）
A．从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星
D．从 13 位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
【答案】C
【详解】只有从 100 位幸运观众中选出 2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而 A,B,D 均与顺序有关.
故选：C.
例题 2．（2022·高二课时练习）以下四个问题中，属于组合问题的是（¡¡¡¡）
A．从 3 个不同的小球中，取出 2 个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲 乙两位同学安排为同桌､
C．在电视节目中，主持人从 100 名幸运观众中选出 2 名幸运之星
D．从 13 位司机中任选出两位分别去往甲 乙两地､
【答案】C
【详解】只有从 100 名幸运观众中选出 2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
故选：C.
例题 3．（多选）（2022·高二课时练习）（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（¡¡¡¡）
A．从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有 4 张电影票，要在 7 人中确定 4 人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击 8 枪，击中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，则不同的结果有多少种
D．从 2，3，5，7，11 中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
【答案】BCD
【详解】对于 A，从 3名同学中选出 2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；
对于 B，从 7人中选出 4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；
对于 C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；
对于 D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.
故选：BCD
同类题型演练
1．（多选）（2022·高二课时练习）下列问题中，属于组合问题的是（）
A．10 支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10 支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从 10 名员工中选出 3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从 10 名员工中选出 3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
【答案】AC
【详解】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；
B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序
区别；
C是组合问题，因为 3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；
D是排列问题，因为选的 3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，
.故选：AC.
2．（多选）（2022 春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）给出下列几个问题，其中是组合问题
的是（）
A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数
B．求 5个队进行单循环比赛的分组情况的种数
C．3人去做 5种不同的工作，每人做 1种，求不同的安排种数
D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【详解】解：A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；
而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.
故选：AB.
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