《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点05 函数概念及其性质（原卷版）

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专题 05 函数概念及其性质

易错知识

1．使用换元法求解析式、求函数值域时，容易忽略引入新变量的取值范围致错；

2．求函数值域、求函数的单调区间、判断函数的奇偶性时，容易忽略函数的定义域致错；

3．研究分段函数的单调性时，容易忽略端点值的大小致错；

4．求定义域中有零的奇函数解析式时，容易忽略自变量 0的函数值；

5. 处理函数的单调性问题时，容易忽略混淆“单调区间”和“在区间上单调”而致错；

6. 有关复合函数的问题，弄不清自变量而致错；

易错分析

一、求函数的单调区间忽视定义域致错

1．函数 y＝的单调递减区间为(　 )

A. B.

C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]

【错解】选A　令 t＝x2＋3x，y＝是由 y＝与 t＝x2＋3x复合而成

，又

外层函数 y＝在[0，＋∞)

上单调递增，内层函数 t＝x2＋3x在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同增异减的

原则可知，函数 y＝的单调递减区间为．

【错因】

【正解】

二、判断函数的奇偶性忽视定义域致错

2．判断函数 f(x)＝的奇偶性：

函数概念及其性质

忽视

函数

的定

义域

致错

分段

函数

的单

调性

忽视

高端

点值

致错

使用

换元

法忽

视新

变量

范围

致错

搞不

清复

合函

数自

变量

致错

忽视

零点

存在

性定

理使

用范

围致

错

【错解】

，所以函数 f(x)＝为偶函数。

【错因】

【正解】

三、有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错

3．设函数 f(x)＝则使得 f(x)≥1的自变量 x的取值范围为__________．

【错解】由已知及 f(x)≥1 可得．(x＋1)2≥1 或4－≥1，

由(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，由 4－≥1，即≤3，所以 1≤x≤10.

综上所述，x∈[1,10]．

【错因】

【正解】

四、有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错

4．设 a∈R，已知函数 y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且 f(a＋1)>f(2a)，则 a的取值范围

是(　 )

A．[－4,1) B．(1,4] C．(1,2] D．C．（1，＋∞)

【错解】∵y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且 f(a＋1)>f(2a)，∴a＋1<2a，解得 1<a，选 D.

【错因】

【正解】

五、有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错

5. 已知函数 f(x)＝在 R上单调递增，则实数 a的取值范围为________．

【错解】要使 f(x)在R上单调递增，必须满足：f(x)在(－∞，1)上单调递增，

f(x)在(1 ，＋ ∞ )上单调递增；又 x≥1时，

，作出大致图象如图所示．结合

图象可知 a≤1,故实数 a的取值范围为(－∞，1].

【错因】

【正解】

六、有关奇函数的解析式忽视自变量 0的函数值致错

6．已知定义在 R上的奇函数 f(x)，当 x>0 时，f(x)＝x2＋x－1，则函数 f(x)的解析式为_______．

【错解】设x<0，则－x>0，由题意可知 f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1，

因为 f(x)是R上的奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1.

综上所述，

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