《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）（解析版）

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1.4 数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）
一、 例述数列在生活中的应用
数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并
影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例：
例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时
服用一次，每次服用 m毫克.已知人的肾脏每 24 小时可以从体内滤除这种药物的 80%，设
第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是 毫克，（即 ）.
(1)已知 ，求 ､；
(2)该药物在人体的含量超过 25 毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求 m
的最大值.
【答案】(1) ， ；
(2)20 毫克
【解析】
【分析】
（1）由 ， 计算可得．
（2）由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的 可得递推关系
式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可
得．
(1)
， ；
(2)
依题意， ，
所以 ， ，
所以 是等比数列，公比为 ，
所以 ， ，
， ，
数列 是递增数列，且 ，所以 ，
即 ，
所以 m的最大值是 毫克．
举一反三：
1．顾客采用分期付款的方式购买一件 5000 元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每
月等额付款一次，在购买后的第 12 个月将货款全部付清，月利率 0.5％.按复利计算，该顾
客每月应付款多少元（精确到 1元）？
【答案】430
【解析】
【分析】
根据题目条件，结合等比数列的前 项和公式建立方程关系可得到结论．
【详解】
设每月应付款 元，
那么至最后 1次付款时(即商品购买 12 个月后)付款金额的本利和为:
（元），
另外,5000 元商品在购买后 12 个月后的本利和为 （元），
根据题意,，即 x=（元）.
二、 银行储蓄与分期付款中的数列应用
储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小
到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。
在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是
银行储蓄中常见的一种金融计算方式。下面将以某一常见模式为例，进行数列
在储蓄领域应用的解析。
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、
整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）
③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款
（2）银行存款计息方式：
①单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.
其公式为： 利息=本金×利率×存期
以符号 P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金和利息和(以下简称本利和),则有
②复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的
计算公式是
（3）零存整取模型
例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生
的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期
内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷
款10000 元，约定月利率为 1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还
款12 次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，
到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的 1.525%，并且按照单利计算利息，这样的
还款总额记为y元.则y-x的值为（ ）(参考数据：1.01512≈1.2)
A．0 B．1200 C．1030 D．900
【答案】C
【解析】
【分析】
设小闯同学每个月还款 元，则可依次求每次还款 元后，还欠本金及利息，由题意可得
，求出 ，从而可
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