《高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题》秒杀题型13 圆锥曲线中的轨迹（解析版）

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【秒杀题型一】：圆锥曲线中的求轨迹。
『秒杀策略』：主要利用定义法、直接法、代换法(相关点法)、参数法求轨迹方程。
【题型 1】：定义法求轨迹。
『秒杀策略』：紧扣曲线的定义。
〖高考母题 1〗如图,求证:与圆 外切，且与圆 内切的圆的圆心 C的轨迹为椭圆。
【解析】：利用椭圆的定义。
〖高考母题 2〗一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心的
轨迹方程，并说明它是什么曲线?
【解析】：。
1.(2013 年新课标全国卷I20)已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并
且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 。
（1）求 的方程；
（2） 是与圆 ，圆 都相切的一条直线， 与曲线
交于 、 两点，当圆 的半径最长时，求 。
【解析】：（1） ， ， ，动点 P到两定点 M、N距离之和等于定值
4，所以 P的轨迹是以 M、N焦点的椭圆， ， ，C的方程为： 。
（2）从图得半径最长时圆的方程为： ，公切线有三条： ，与椭圆联立，代入弦长公式
得弦长分别为： ， 。
〖高考母题 3〗如图，圆 的半径为定长 ，A是圆 O内一个定点，P是圆上任意一点，线
段AP 的垂直平分线 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P在圆上运动时，点 Q的轨迹是什么？为什么？
【解析】：是以 O、A为焦点， 为长轴长的椭圆。
1.(高考题)已知 ， 是圆 (为圆心)上一动点，线段 的
垂直平分线交 于
，
则动点 的轨迹方程为 。
【解析】： 关于原点对称， ， ， ，点 到两定点 距
离之和为定值 2，动点 的轨迹是以 为焦点，以 为 的椭圆，
即 ，所以椭圆方程为： 。
〖高考母题 4〗如图，圆 O的半径为定长 ，A是圆 O外一个定点，P是圆上任意一点，线段 AP
的垂直平分
线 和直线 OP 相交于点 Q，当点 P在圆上运动时，点 Q的轨迹是什么？为什么？
【解析】：以 O,A 为焦点， 为实轴长的双曲线。
〖高考母题 5〗与两圆 都外切的圆的圆心在 ( )
A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上
【解析】：同上，选 B。
〖高考母题 6〗点M与点 F(4,0)的距离比它到直线 的距离小 2,求点 M的轨迹方程.
【解析】： 。
〖高考母题 7〗已知定点 F和定直线 ，F不在直线 上，动圆 M过F且与直线 相
切，求证：圆心 M的轨迹是一条抛物线。
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