《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题8.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第八章 空间向量与立体几何
专题 8.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算（讲）
【考试要求】
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置
2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算.
【高考预测】
（1）空间向量的线性运算及其坐标表示.
（2）运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
（3）应用空间向量解决立体几何问题.
（4）一般不独立命题．预测 2022 年高考会以简单几何体为载体，利用空间向量方法解决与平行、垂直有
关的证明及空间角的计算问题．解题时要求有较强的运算能力.
【知识与素养】
知识点 1．空间向量的线性运算
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．
(2)几种常用特殊向量
①单位向量：长度或模为 1 的向量．
②零向量：长度为 0 的向量．
③相等向量：方向相同且模相等的向量.
④相反向量：方向相反而模相等的向量．
⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．
⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．
2.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．
设
a
，
b
是空间任意两向量，若
,OA AC a AB b 
                           
，
P
∈
OC
，则
OB OA AB a b  
                           
，
BC AC AB a b  
 
，
( )OP a R
 
 
.
（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律
①加法交换律：
a
＋
b
＝
b + a .
②加法结合律：(
a
＋
b
)＋
c
＝
a +
（
b
＋
c
）．
③数乘分配律：
λ
(
a
＋
b
)＝
λa+λb.
④数乘结合律：
λ
(
μa
)＝(
λμ)
a
.(
λ
∈R，
μ
∈R)．
【典例 1】（2020·全国）如图，在长方体 中， ( )
A．B．C．D．
【规律方法】
用已知向量表示某一向量的方法
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始
点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
知识点 2．共线向量定理、共面向量定理的应用
(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量
a
，
b
(
b
≠0)，
a
∥
b
的充要条件是存在实数
λ
，使
a=λb
.
(2)共面向量定理：如果两个向量
a
、
b
不共线，则向量
p
与向量
a
、
b
共面的充要条件是存在唯一实数对
x
、
y
，使
p xa yb 
.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量
a
、
b
、
c
不共面，那么对空间任一向量
p
，存在唯一的有序实数组{
x
，
y
，
z
}，使
p xa yb zc  
.把{
a
，
b
，
c
}叫做空间的一个基底．
推论：设
O
、
A
、
B
、
C
是不共面的四点，则对空间任一点
P
，都存在唯一的三个有序实数
x
、
y
、
z
，
使
OP xOA yOB zOC 
 
.其中
x
＋
y
＋
z
＝1.
【典例 2】（2021·全国）如图，在四面体 ABCD 中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证： 平面 EFGH；
（3）设 M是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点 O，有 .
【总结提升】
1.证明空间三点
P
，
A
，
B
共线的方法
(1)PA＝
λ
PB(
λ
∈R)；
(2)对空间任一点
O
，OP＝OA＋
t
AB(
t
∈R)；
(3)对空间任一点
O
，OP＝
x
OA＋
y
OB(
x
＋
y
＝1)．
2．证明空间四点
P
，
M
，
A
，
B
共面的方法
(1)MP＝
x
MA＋
y
MB；
(2)对空间任一点
O
，OP＝OM＋
x
MA＋
y
MB；
(3)对空间任一点
O
，OP＝
x
OM＋
y
OA＋
z
OB(
x
＋
y
＋
z
＝1)；
(4)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM)．
知识点 3．空间向量的数量积及其应用
1．两个向量的数量积
(1)
a·b
＝
|a||b|
cos〈
a
，
b
〉；
(2)
a
⊥
b
⇔
a·b
＝0(
a
，
b
为非零向量)；
(3)|
a
|2＝
a2
，|
a
|＝.
2．向量的坐标运算
a
＝(
a
1，
a
2，
a
3)，
b
＝(
b
1，
b
2，
b
3)
向量和
a
＋
b
＝(
a
1＋
b
1，
a
2＋
b
2，
a
3＋
b
3)
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