《高一数学课堂抄重点讲义（人教A版2019必修第二册）》8.6空间直线、平面的垂直（讲义+例题+小练）（解析版）

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8.6 空间直线、平面的垂直（讲义+例题+小练）
一、直线与直线垂直
1
奎屯
王新敞
新疆
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。
3.空间两条异面直线的画法。
4．异面直线所成的角：
将两条异面直线平移成相交，找到所成的角（所成的角共有 4 个，两对对顶
角，这时根据平面内的两条直线所成角的范围让学生自己猜想应该是那一个
角）。
如果两条异面直线夹角等于 90°，我们说 两条直线垂直
例1如图所示，正方体 中，E，F分别为平面 与 的中心，
则 与 所成角的度数是_____________．
【答案】
【解析】
【详解】
根据题意可知：在 中， // ，// ，
所以在正方体 中，
所以 与 所成角的度数是
故答案为：
举一反三
1．判断正误．
（1）异面直线所成的角的大小与 O点的位置有关．即 O点位置不同时，这一角的大小也
a
b
a
b
b
a
′
O
b
不同．( )
（2）异面直线 a与b所成角可以是 ．( )
（3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．
( )
【答案】†††† × × √
【解析】
【详解】
（1）异面直线所成的角的大小与 O点的位置无关，故错误；
（2）异面直线 a与b所成角不可以是 0°，故错误；
（3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直，
正确.
2．如图，在四棱柱 中，侧面都是矩形，底面四边形 是菱形且
， ，若异面直线 和 所成的角为 ，试求 的长.
【答案】
【解析】
【分析】
连接 ，得到 ，根据题意，得到 ，再求得 ，
，结合 ，即可求解.
【详解】
如图，连接 ，在四棱柱 中， ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 （或其补角）为 和 所成的角，
因为异面直线 和 所成的角为 ，所以 ，
因为四棱柱 中，侧面都是矩形，底面四边形 是菱形，
所以 是等腰直角三角形，所以 ，
因为底面四边形 是菱形且 ， ，
所以 ， ，
所以 .
二．直线与平面垂直
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面
垂直。
⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
简记为：线线垂直，则线面垂直 .
符号：
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