《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题45 弧度制(解析版)

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专题 45 弧度制

1．度量角的两种单位制

角度制

定义用度作为单位来度量角的单位制

1度

的角 1度的角等于周角的，记作 1°

弧度制

定义以弧度为单位来度量角的单位制

1弧度

的角

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角.1

弧度记作 1 rad(rad 可省略不写)

在半径为 r的圆中，弧长为 l的弧所对的圆心角为 α rad，那么|α|＝.

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.

2．弧度数的计算

3．角度制与弧度制的换算

4．一些特殊角与弧度数的对应关系

度0

°30° 45° 60° 90° 120° 135° 150

180

°270° 360°

弧

度0 π 2π

5.扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝αR;(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.

(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：

①l＝|α|·r，|α|＝，r＝；② S＝|α|r2，|α|＝.

题型一角度与弧度的互化与应用

1．将下列角度化为弧度

(1)105°；(2)1920°；(3)20°；(4)－15°；(5)112°30′；(6)－157°30′；(7)－630°；

(8) 2100°；(9)37°30′；(10)－216°；(11)－1 500°；(12)67°30′；(13)2145°

[解析] (1)105°＝105× rad＝ rad；

(2) 1920°＝5×360°＋120°＝ rad＝ rad；(3)20°＝＝；

(4)－15°＝－＝－；(5)因为 1°＝rad，所以 112°30′＝×112.5 rad＝rad；

(6)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad；(7) －630°＝－630×＝－π；

(8) 2100°＝2100×＝；(9)37°30′＝37.5°＝°＝×＝；

(10)－216°＝－216×＝－；(11) －1500°＝－1500×＝－π

(12)67°30′＝67.5°＝67.5×＝；(13) 2145°＝2145× rad＝ rad.

2．将下列弧度化为角度

(1)－rad；(2)－ rad；(3) rad；(4)；(5)－；(6) －；(7)

；

(8)－；(9)

[解析](1)因为 1 rad＝°，所以－rad＝－°＝－75°；(2)－ rad＝－×°＝－396°；

(3) rad＝°＝252°；(4)＝×180°＝105°；(5)－＝－×180°＝－396°；

(6) －＝°＝－600°； (7)＝°＝690°；(8)－＝－°＝－390°；

(9)＝×180°＝288°.

3．下列转化结果错误的是(　　)

A．60°化成弧度是 rad B．－π rad 化成度是－600°

C．－150°化成弧度是－π rad D. rad 化成度是 15°

[解析]对于 A,60°＝60× rad＝ rad；对于 B，－π rad＝－×180°＝－600°；

对于 C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于 D， rad＝×180°＝15°.故选 C.

4．已知 α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较 α，β，γ，θ，φ的大小．

[解析]法一(化为弧度)：α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad.

显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

法二(化为角度)：β＝ rad＝×°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，

φ＝×°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

题型二用弧度数表示角

1．下列说法中，错误的是(　　)

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．1°的角是周角的，1 rad 的角是周角的

C．1 rad 的角比 1°的角要大

D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关

[解析]“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以 A正确.1°的角是周角的，1

rad 的角是周角的，所以 B正确．因为 1 rad＝°>1°，所以 C正确．用角度制和弧度制度量

角，都与圆的半径无关，所以 D错误．

2．下列叙述中正确的是(　　)

A．1弧度是 1度的圆心角所对的弧

B．1弧度是长度为半径的弧

C．1弧度是 1度的弧与 1度的角之和

D．大圆中 1弧度的圆心角与小圆中 1弧度的圆心角一样大

[解析]弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径的

圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选 D.

3．下列说法正确的是(　　)

A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系

B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应

C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同

D．－120°的弧度数是

[解析]A 项中，零角的弧度数为 0，故 A项错误；B项是正确的；C项中，用角度制和弧度

制度量零角时，单位不同，但数量相同(都是 0)，故 C项错误；－120°对应的弧度数是－，

故D项错误．故选 B.

4．时钟的分针在 1点到 3点20 分这段时间里转过的弧度数为(　　)

A.π B．－π C.π D．－π

[解析]分针在 1点到 3点20 分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，

用弧度制表示就是：－4π－×2π＝－π.

5．自行车的大链轮有 88 齿，小链轮有 20 齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的

弧度数是(　　)

A. B. C. D.

[解析]由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是 ×

2π＝.

6．已知集合 A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合 B＝{x|－4≤x≤4}，则 A∩B＝________

________.

[解析]如图所示，

∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．

7．将－1485°表示成 2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是_________．

[解析]　∵－1485°＝－5×360°＋315°，而 315°＝π，∴应填－10π＋π.

8．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)

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