《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第1课时 三角函数的基本概念（解析版）

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第四章 三角函数
第 1 课时 三角函数的基本概念
编写：廖云波
【回归教材】
1.角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，构成的角的集合是 S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2.象限角
第一象限角的集合为 ；第二象限角的集合为 ；
第三象限角的集合为 ；第四象限角的集合为
3.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝.
(3)扇形的弧长公式：l＝| α |· r ，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.
4.任意角的三角函数
任意角 α的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，
则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 一象限符号 二象限符号 三象限符号 四象限符号
sin αR＋ ＋ － －
cos αR＋ － － ＋
tan α{α|α≠kπ＋，k∈Z}＋ － ＋ －
【典例讲练】
题型一 角的有关概念
【例 1-1】在与 495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角.
(1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间 内的角.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）与 495°角终边相同的角为 ，由 且 ，求出 ，即可得解；
（2）由 且 ，求出 ，即可得解；
（3）由 且 ，求出 ，即可得解.
(1)
∵ ，∴与 495°角终边相同的角为 ， .
由 且 ，可得 ，故所求的最大负角为 ；
(2)
由 且 ，可得 ，故所求的最小正角为 ；
(3)
由 且 ，可得 ，故所求的角为 .
【例 1-2】将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
【答案】(1) 弧度
(2) π弧度
(3) 弧度
(4)
(5)
(6)
【解析】
【分析】
利用 弧度 即可得出，即角度化弧度乘以 ，弧度化角度乘以 ，需注意单位为度．
(1)
解： 弧度 弧度，
(2)
解： 弧度 弧度，
(3)
解： 弧度 弧度．
(4)
解： 弧度 ，
(5)
解： 弧度 ，
(6)
解： 弧度 ．
【例 1-3】设 是第四象限的角．
(1)试讨论 是哪个象限的角； (2)写出 的范围； (3)写出 的范围．
【答案】(1)第二或第四象限的角
(2)
(3)
【解析】
【分析】
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