《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第3课时 平面向量的数量积（原卷版）

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第 3 课时 平面向量的数量积
编写：廖云波
【回归教材】
1.向量的夹角
已知两个非零向量 a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 就是向量 a与b的夹角，向量夹角的范围是：
．
2.平面向量的数量积
(1)设两个非零向量 a，b的夹角为 θ，则数量 叫做 a与b的数量积，记作 a·b
(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。
3.投影向量
（1）向量 a在b方向上的投影向量为 ( 其中 e为与 b同向的单位向量)，它是一个向量，且与 b
共线，其方向由向量 a和b夹角 θ的余弦决定．
（2）向量 a在b方向上的投影向量·.
注意：a在b方向上的投影向量与 b在a方向上的投影向量不同，
即向量 b在a上的投影向量可表示为 .
4.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.
(2)a⊥b⇔ .
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当 a与b反向时，a·b＝ . 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
5.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6.平面向量数量积满足的运算律
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ .
(2)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则 cosθ＝＝ .
【典例讲练】
题型一 平面向量的数量积的运算
【例 1-1】已知向量 与 的夹角为 ， ， ，分别求在下列条件下的 ：
(1) ； (2) ； (3) ．
【例 1-2】已知平面向量 ， 的夹角为 120°，且 .若 ，则 ______.
【例 1-3】如图，正六边形 ABCDEF 中， ，点 P是正六边形 ABCDEF 的中心，则 ______．
【例 1-4】如图，平行四边形 中， ， ， ，点 在 边
上，且 ，则 ___________.
归纳总结：
【练习 1-1】若, , , 的夹角为 ，若 ，则 的值为________．
【练习 1-2】已知 是边长为 2的正三角形，D是AC 的中点，则 ______．
题型二 向量的模与投影向量
【例 2-1】已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 ，则 _________．
【例 2-2】设平面向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习 2-1】已知向量 ， 夹角为 ，且 ， ，则 （ ）
A．3 B．C．4 D．5
【练习 2-2】已知 ， 为单位向量，当向量 与 的夹角 等于 时，则向量 在向量 上的投影向
量为（ ）
A．B．C．D．
题型三 向量的夹角
【例 3-1】已知平面向量 ，则 与 的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【例 3-2】已知向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围为__________.
归纳总结：
【练习 3-1】已知 .
(1)求 与 夹角的余弦值. (2)当 与 的夹角为钝角时，求 的取值范围.
题型四 数量积的最值（范围）问题
【例 4-1】如图，已知四边形 ABCD 为直角梯形， ， ，AB=1，AD=3， ，设点
P为直角梯形 ABCD 内一点（不包含边界），则 的取值范围是（ ）
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