2.4幂函数和二次函数（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-06 4 4 783.53KB 13 页 3知币
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2.4 幂函数和二次函数
【题型解读】
【知识储备】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y ＝ x α
叫做幂函数，其中 x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当 α为奇数时，y＝xα为奇函数；当 α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax 2
＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为( m ， n ) ．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当 b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
【题型精讲】
【题型一　幂函数的图像与性质】
例1　（2022·江西高三月考）已知函数 是幂函数，直线
过点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 是幂函数，知： ，又 在 上，
∴ ，即 ，则 且 ，
∴ .故选：D.
例2　（2022·全国·高三测试）图中 C1、C2、C3为三个幂函数 在第一象限内的图象，则解析式中指数
的值依次可以是（　　）
A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、
【答案】D
【解析】由幂函数 在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中 C1对应的 ，C2对应的 ，C3对应的 ，
结合选项知，指数 的值依次可以是 ．
故选：D.
例3　（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试）已知幂函数 的图象过点 ，且 ，
则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】设 ，
则 ，
所以 ，
在 上递增，且为奇函数，
所以 .
故答案为：
例4　（2022·北京人大附中高三月考）设 则“ 的图象经过 ”是“
为奇函数”的（ ）
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