2.8函数零点的6大题型（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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2.8 函数零点的 6大题型
【题型解读】
【知识储备】
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数 y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0
的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程 f(x)＝0有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x
轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数 y＝f(x)在区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b )<0 ，那么，函数 y＝f(x)在
区间( a ， b ) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c
也就是方程 f(x)＝0的根．
【题型精讲】
【题型一　求函数的零点】
必备技巧 探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程 f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数 y＝f(x)的图象联系起来，图象与 x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
例1 　(2022·历城二中高三月考)求函数 f(x)＝的零点；
【解析】当 x≤0时，令 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3(x＝1舍)；
当x>0 时，令－2＋ln x＝0，解得 x＝e2.
所以函数 f(x)＝的零点为－3和e2.
例2　（2022·全国高三专题练习）已知函数 则函数 的所有零点之和为____
_______.
【答案】
【解析】
x ≤ 0
时， ， ，由 ，可得 或 ， 或 ；
时， ， ，由 ，可得 或 ， 或 ；
函数 的所有零点为 ， ， ， ，所以所有零点的和为
故答案为： ．
【题型精练】
1.（2022·上海高三期末）已知函数 ，则该函数的零点是_________.
【答案】
【解析】函数的零点即为相应方程的根，所以要求函数 的零点，
即
x
2﹣2
x
＝0，解得
x
＝0 或
x
＝2，又 ，所以舍去， ＝0，又 ，可得
x
，
所以函数的零点为 ．故答案为： ．
2.（2022·北京高三专题练习）函数 的零点是_______.
【答案】
【解析】解： ，即 ， ，
因为 ，所以 ，对 两边取以 3 为底的对数得， ，故答案为：
【题型二　求函数零点所在的区间】
必备技巧 确定函数 f(x)零点所在区间的常用方法
利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若
f(a)·f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
例3　（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末）函数 的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 ,由对数函数和幂函数的性质可知，
函数在 时为单调增函数，
， ，
， ，
因为 在 内是递增，故 ，
函数是连续函数，由零点判断定理知， 的零点在区间 内，
故选：B．
例4　（2022·北京清华附中高三月考）函数 的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 为连续函数，且在 单调递增，
， ， ，
根据零点存在性定理， ，所以零点一定位于区间 .故选：C
【题型精练】
1. （2022·新疆高三三模）函数 的零点所在的区间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 为 上的增函数，
由 ， ，
可得函数 的零点所在的区间为 ．故选：D.
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