7.3.1空间向量在立体几何中的应用（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（原卷版）

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第七章 空间向量与立体几何
7.3.1 空间向量在立体几何中的应用（题型战法）
知识梳理
一 空间向量的线性运算与坐标运算
1.空间向量的线性运算
包含向量的加减运算，数乘，用基地表示向量等。
2.空间向量的坐标运算
一般地，A=(x1，y1，z1)，B=(x2，y2，z2).那么
⃗
AB
=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)
空间向量 a，b，其坐标形式为 a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)
减法 a-b a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)
数乘 λa λa=(λx1，λy1，λz1)
数量积 a·b a·b=x1x2+y1y2+z1z2
特别地，（1）如果 μ，v是两个实数，那么 μa+vb=(μx1+vx2，μy1+vy2，μz1+vz2).
（2）|a|= .
（3）cos<a，b>= (a≠0，b≠0).
3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，
则有 a∥b⇔(其中 x1y1z1≠0)；
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.
4.空间向量共面定理
（1）如果两个向量 a，b不共线，则向量 a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使
c=xa+yb.
（2）ABCD 四点共面,O 为面外的一点：
⃗
OD=x
⃗
OA +y
⃗
OB+z
⃗
OC , x +y+z=1
二 空间向量的夹角与距离问题
1.线线角的求法
设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为
⃗
AB ,
⃗
CD
，则直线 AB 与CD 所成的角为 。
cosθ=
|
cos
⟨
⃗
AB ,
⃗
CD
⟩
|
。
注意：线线角的范围
2.线面角的求法
设
⃗
n
是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，直线 与平面 所成角为 。
sinθ=
|
cos
⟨
⃗
AB ,
⃗
n
⟩
|
。
注意：线面角的范围
3.二面角的求法
设
分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则 就是二面角的平面角或其补角的大
小。
注意：二面角的范围
4.距离的求法
设
⃗
n
是平面 的法向量，AB 是平面 的一条斜线， ，
⃗
n
是平面 的法向量。则点 A到平面
的距离：
d=
|
⃗
AB ,
⃗
n
|
|
⃗
n
|
。
题型战法
题型战法一 空间向量的线性运算
典例 1．如图所示，在三棱锥 中，设 ， ， ，若 ， ，
则 （）
A．B．C． D．
变式 1-1．如图，在斜三棱柱 中，M为BC 的中点，N为 靠近 的三等分点，设
， ， ，则用 ， ， 表示 为（）
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