8.5.1直线与圆锥曲线的位置关系（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第八章 平面解析几何
8.5.1 直线与圆锥曲线的位置关系（题型战法）
知识梳理
一 直线与椭圆的位置关系
直线 y＝kx＋m与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去 y得到一个关于 x的一元二次方程.
Δ>0⇒有两个公共点；Δ=0⇒有一个公共点；Δ<0⇒有0个公共点.
二 直线与双曲线的位置关系
设直线 l：y=kx+m（m≠0），① 双曲线 C：- =1（a>0，b>0），②
把①代入②得（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
（1）当 b2-a2k2=0，即 k=± 时，直线 l与双曲线 C的渐近线平行，直线与双曲线，相交于一点.
（2）当 b2-a2k2≠0，即 k≠± 时，Δ=（-2a2mk）2-4（b2-a2k2）（-a2m2-a2b2）.
Δ>0⇒有两个公共点；Δ=0⇒有一个公共点；Δ<0⇒有0个公共点.
三 直线与抛物线的位置关系
直线 y＝kx＋b与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x的方程组 解的个数，即二
次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0 时，若 Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；
若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有 1个公共点．
四 弦长公式
若斜率为 k（k≠0）的直线与圆锥曲线相交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则|AB|=
.
题型战法
题型战法一 直线与圆锥曲线的位置关系
典例 1．直线 与椭圆 的位置关系是（）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】根据直线恒过 ，且 在椭圆内可直接得到结论.
【详解】 ， 在椭圆内，
恒过点 ， 直线 与椭圆 相交.
故选：A.
变式 1-1．直线 与椭圆 有两个公共点，则 m的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】联立直线和椭圆方程得 得 或 ，又因为 ，综合即得解.
【详解】联立直线和椭圆方程得 ，
所以
所以 ，
所以 或 ，
因为
所以 且 .
故选：C
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平.
变式 1-2．过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.
【详解】当斜率不存在时，过 的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为 ，联立 ，得 ①.
当 ，即 时，①式只有一个解；
当 时，则 ，解得 ；
综上可知过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有 4条.
故选：D.
变式 1-3．若直线 与双曲线 相交，则 的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】联立直线和双曲线的方程得到 ，即得 的取值范围.
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