第05讲 事件的相互独立性 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第5讲 事件的相互独立性
知识点 1
1．事件的相互独立性
(1)定义：对任意两个事件 A与B，如果 P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件 A与事件 B相互独立．简称为独
立．
(2)性质：如果事件 A与B相互独立，那么 A与，与 B，与也都相互独立．
(3)公式的推广
①
n个事件相互独立
对于 n个事件 A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称
n个事件 A1，A2，…，An相互独立．
②
n个相互独立事件的概率公式
如果事件 A1，A2，…，An相互独立，那么这 n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多个事件 Ai换成其对立事件后等式仍成立．
(4)两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生
的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能
够同时发生为前提．
2．相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B)P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(A∪B)P(A)＋P(B)P(A)P()＋P()P(B)
[说明]　①(A)＋(B)，表示的是 A与B的和，实际意义是：A发生且 B不发生，或者 A不发生且 B发生，
换句话说就是 A与B中恰有一个发生．
②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级
高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为 A＋B.
考点一 事件独立性的判断
解题方略：
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件 A，B同时发生的概率等于事件 A发生的概率与事件 B发生的概率的积，则事件 A，B
为相互独立事件．　　　　
【例 1】判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组 3名男生，2名女生；乙组 2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选 1名同学参加演讲比赛，
“从甲组中选出 1名男生”与“从乙组中选出 1名女生”；
(2)容器内盛有 5个白乒乓球和 3个黄乒乓球，“从 8个球中任意取出 1个，取出的是白球”与“从剩
下的 7个球中任意取出 1个，取出的还是白球”；
(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3点或 6点”．
【解析】(1)“从甲组中选出 1名男生 这一事件是否发生，对 从乙组中选出” “ 1名女生 这一事件发生”
的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出 1个，取出的是白球 的概率为，若这一事件发生了，则 从剩下的” “ 7个球中
任意取出 1个，取出的仍是白球 的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为”.可见，前一
事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记A＝ 出现偶数点 ，“ ” B＝ 出现“3点或 6点 ，则”A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
所以 P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以 P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件 A与B相互独立．
变式 1：下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有 2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到 20 岁”，B＝“人能活到 50 岁”
【解析】把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故 A是独立事件；
B中是不放回地摸球，显然 A事件与 B事件不相互独立；对于 C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是
条件概率，事件 B受事件 A的影响．故选 A．
变式 2：从 52 张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件 A为“抽得 K”，记事件 B为“抽得红牌”，记
事件 C为“抽到 J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；(2)C与A.
【解析】(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝，
事件 AB 即为“既抽得 K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃 K或方块 K”，故 P(AB)＝＝，从而有
P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件 A与B相互独立．
(2)事件 A与事件 C是互斥的，因此事件 A与C不是相互独立事件．
变式 3：袋内有 3个白球和 2个黑球，从中不放回地摸球，用 A表示“第一次摸得白球”，用 B表示“第
二次摸得白球”，则 A与B是(　　)
A．互斥事件　　　　　 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
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