第12讲 正弦定理 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第12 讲 正弦定理
知识点 1 正弦定理
1.正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
公式：在任意△ABC 中，都有＝＝，这就是正弦定理.
注：正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2. 正弦定理的常见变形
(1)＝＝＝2 R (R为△ABC 外接圆的半径).
(2)a＝2 R sin A ，b＝2 R sin B ，c＝2 R sin C (R为△ABC 外接圆的半径).
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC 外接圆的半径)..
(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C .
(5)＝＝＝.
(6)a sin B ＝ b sin A ， a sin C ＝ c sin A ， b sin C ＝ c sinB.
(7)在△ABC 中，A>B⇔a > b ⇔sin A >sin B .
3. 三角形面积公式
(1)S＝aha＝bhb＝chc；
(2)S＝absin C ＝bcsin A＝casin B.
知识点 2 利用正弦定理判断三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和
其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具
体做法如下：
由正弦定理得 sinB＝，
①若>1，则满足条件的三角形个数为 0，即无解．
②若＝1，则满足条件的三角形个数为 1，即一解．
③若<1，则满足条件的三角形个数为 1或2.
考点一 已知两角及一边解三角形
解题方略：
已知任意两角和一边，解三角形的步骤
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．　　
【例 1】在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C＝75°，求 A，c.
【解析】A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由＝得，c＝＝＝＝4(＋1)．
所以 A＝45°，c＝4(＋1)．
变式 1：已知在△ABC 中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求 a，b和B.
【解析】∵＝，
∴a＝＝＝10.
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵＝，
∴b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5(＋).
变式 2：在△ABC 中，若 BC＝，sin C＝2sin A，则 AB＝________.
【解析】由正弦定理，得 AB＝BC＝2BC＝2.
变式 3：在△ABC 中，若 A＝105°，C＝30°，b＝1，则 c＝________.
【解析】由题意，知 B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得 c＝＝＝.
变式 4：△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 cosA＝，cosC＝，a＝1，则 b＝ .
【解析】在△ABC 中，由 cosA＝，cosC＝，
可得 sinA＝，sinC＝，
sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，
又a＝1，由正弦定理得 b＝＝.
变式 5：如图，已知 A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点 A所在的河岸边另选定一点 C，测得
m， ， ，则 A、B两点的距离为（ ）
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