专题强化一 因式分解中的分组分解法和十字相乘法-2022-2023学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

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专题强化一：因式分解中的分组分解法和十字相乘法
考点一：分组分解法
常用的分解因式的方法有提取公因式法、 公式法及十字相乘法．但有更多的多项
式只用上述方法就无法分解，如
x2
﹣4
y2
﹣2
x
+4
y
，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平
方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以
完成整个式子的分解因式了．这种分解因式的方法叫分组分解法．
例如：
x2
﹣4
y2
﹣2
x
+4
y
＝（
x
+2
y
）（
x
﹣2
y
）﹣2（
x
﹣2
y
）＝（
x
﹣2
y
）（
x
+2
y
﹣2）．
考点二：十字相乘法
【方法探究】
对于多项式 我们也可这样分析：它的二次项系数 1 分解成 1 与 1 的积；它的常数项
pq
分解成
p
与
q
的积，按图 1 所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数 ．
所以
例如，分解因式：
它的二次项系数 1 分解成 1 与 1 的积；它的常数项 6 分解成 2 与 3 的积，按图 2 所示方式排列，然后
交叉相乘的和正好等于一次项系数 5．
所以 ）．
类比探究：当二次项系数不是 1 时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式： ．
分析：二次项系数 2 分解成 2 与 1 的积；常数项－6 分解成－1 与 6（或－6 与 1，－2 与 3，－3 与
2）的积，但只有当－2 与 3 时按如图 3 所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．
所以 ．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于
x
的二次三项式 时，二次项系数
a
分解成 与 的积，分别写在
十字交叉线的左上角和左下角；常数项
c
分解成 与 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，
把 ， ， ， 按如图 4 所示方式排列，当且仅当 （一次项系数）时， 可分
解因式．即 ．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
题型一：分组分解法
1．（2022·安徽宿州·八年级期中）如果多项式 能因式分解为 ，则 的值是（）
A．-7 B．7 C．-13 D．13
2．（2022·全国·八年级专题练习）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和
运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
3．（2022·全国·八年级专题练习）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多
项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若
把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进
行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上
的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例 1中，分组的目的是_________________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
__________________；
__________________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．
题型二：十字相乘法
4．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）若把多项式 分解因式后含有因式 ，则 的值
为（）
A．B．C．D．
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