专题强化训练一 空间向量在直线、平面平行垂直和角的应用-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

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专题强化训练一：空间向量在直线、平面和角的应用
【考点梳理】
考点一：　空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线 l1，l2的方向向量，则
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得 u1＝λu2.
2.线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面 α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面 α，β的法向量，则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得 n1＝λn2 .
考点二：空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2.　线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面 α的法向量， l⊄α，则 l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得 u＝λn.
知识点三　面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面 α，β的法向量，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
考点三：角
角的分类 向量求法 范围
两条异面直
线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为 θ，其方向向量
分别为 u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面
所成的角
设直线 AB 与平面 α所成的角为 θ，直线 AB 的
方向向量为 u，平面 α的法向量为 n，则 sin θ
＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的
夹角
设平面 α与平面 β的夹角为 θ，平面 α，β的法
向量分别为 n1，n2，则 cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|
＝
【题型归纳】
题型一：空间向量证明直线与平面平行
1．如图，在四棱锥 中， ， ，点 F为棱 CD 的中点，与 E，F相异的动点 P在棱 EF
上.
(1)当P为EF 的中点时，证明： 平面 ADE；
(2)设平面 EAD 与平面 EBC 的交线为 l，是否存在点 P使得 平面 PBD？若存在，求 的值；若不存在，请说
明理由.
2．在棱长为 1的正方体 中，E为 的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若 P、Q均在平面
上，满足 ， ．
(1)判断 PQ 与BD 的位置关系；
(2)求 的最小值．
题型二：空间向量证明直线与平面垂直
3．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是梯形，点 E在 上，
．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值．
4．在直三棱柱 中，且 分别是 的中点.
(1)求BN 的长；
(2)求异面直线 和 所成角的余弦值；
(3)证明： ．
题型三：空间角的向量求法
5．如图，在四棱锥 中， 平面 ABCD，M，N分别为 PB，PD 的中点，底面 ABCD 为正方形，且
．
专题强化训练一 空间向量在直线、平面平行垂直和角的应用-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

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