专题强化训练二 全等三角形中的辅助线与常考模型问题-2022-2023学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

3.0 cande 2025-05-06 4 4 2.75MB 52 页 3知币
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专题强化训练二：全等三角形中的辅助线与常考模型问题
题型一：连接两点做辅助线问题
1．已知等腰△ABC 中，AB=AC，点 D在直线 AB 上， DE BC∥，交直线 AC 与点 E，且 BD=BC，CH AB⊥，垂足
为H．
（1）当点 D在线段 AB 上时，如图 1，求证 DH=BH+DE；
（2）当点 D在线段 BA 延长线上时，如图 2，当点 D在线段 AB 延长线上时，如图 3，直接写出 DH
，
BH
，
DE 之
间的数量关系，不需要证明．
2．已知点 P是线段 MN 上一动点，分别以 PM，PN 为一边，在 MN 的同侧作△APM，△BPN，并连接 BM，AN．
（Ⅰ）如图 1，当 PM＝AP，PN＝BP 且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想 BM，AN 之间的数量关系与位置关系，并
证明你的猜想；
（Ⅱ）如图 2，当△APM，△BPN 都是等边三角形时，（Ⅰ）中 BM，AN 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，
请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接 AB 得到图 3，当 PN＝2PM 时，求∠PAB 度数．
题型二：倍线中线模型问题
3．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在 中，AB＝6，AC＝8，D是BC 的中点，
求BC 边上的中线 AD 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到E，使 DE＝AD，请补充完整证明
“△ABD≌△ECD”的推理过程．
(1)求证：△ABD≌△ECD
证明：延长 AD 到点 E，使 DE＝AD
在△ABD 和△ECD 中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的结论，根据 AD 与AE 之间的关系，探究得出 AD 的取值范围是 ；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知
条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图， 中， ， ，AD 是 的中线， ， ，且 ，求 AE 的长．
4．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图 1，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，求 BC
边上的中线 AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图 2），
①延长 AD 到M，使得 DM＝AD；
②连接 BM，通过三角形全等把 AB、AC、2AD 转化在△ABM 中；
③利用三角形的三边关系可得 AM 的取值范围为 AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到 AD 的取值范围是　 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图 2中AC 与BM 的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图 3，AD 是△ABC 的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结
论，试判断线段 AD 与EF 的数量关系，并加以证明．
题型三：旋转模型
5．问题：如图（1），点 E、F分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，∠EAF＝45°，试判断 BE、EF、FD 之间的
数量关系．
(1)延长 FD 到点 G使DG＝BE，连接 AG，得到至△ADG，从而可以证明 EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上
述结论．
(2)如图（2），四边形 ABCD 中， ，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点 E、F分别在边 BC、CD 上，则当
∠EAF 与∠BAD 满足______数量关系时，仍有 EF＝BE＋FD，并说明理由．
(3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD，已知 AB＝AD＝80 米，∠B＝60°，∠ADC
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