专题21 三角函数性质综合应用-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 21 三角函数性质综合应用
目录
【题型一】正余弦对偶式求值.....................................................................................................................................1
【题型二】辅助角范围型.............................................................................................................................................3
【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围................................................................................................5
【题型四】 利用对称中心求范围..............................................................................................................................8
【题型五】三角函数与幂指对函数的交点..............................................................................................................10
【题型六】三角函数比大小.......................................................................................................................................12
【题型七】三角函数奇偶性应用..............................................................................................................................14
【题型八】正切函数与均值求最值..........................................................................................................................16
【题型九】三角函数单调性与最值..........................................................................................................................18
【题型十】三角函数有界消元型..............................................................................................................................19
【题型十一】三角函数应用：换元型......................................................................................................................21
培优第一阶——基础过关练.......................................................................................................................................23
培优第二阶——能力提升练.......................................................................................................................................27
培优第三阶——培优拔尖练.......................................................................................................................................31
【题型一】正余弦对偶式求值
【典例分析】
在△ABC 中，如果 ，则∠C的大小为（）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】B
【分析】对 分别平方再求和即可得 ,进而得 ，
故
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，即： ，
由于 ，所以 ，由于 ，故 .故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
正余弦对偶式：正弦对应余弦，余弦对应正弦，系数一致（不涉及正负号）
正余弦对偶式可以考虑整体话思想，两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的正
余弦公式。
【变式训练】
1.已知 ， ，则 __________.
【答案】
【分析】将 和 分别平方，再求和，即可得出 ．
【详解】解：∵ ，两边同时平方得 ，
又 ，同理得 ，
两式相加得 ，
化简得 ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
2.已知 ，则 _______________．
【答案】 ##
【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ， ，
即 ， ，
两式相加得 ，所以 ．
故答案为：
3.已知 ， ， ，则 （）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据 ， ，两式平方相加得到 ，根据
，得到 代入 求解.
【详解】因为 ， ，所以两式平方相加得 ，
即 ，又因为 ，所以 ，即 ， ，
将 代入 ，得 ，即 ，
所以 ，∴ .故选：D.
【题型二】辅助角范围型
【典例分析】
若 ，函数
f(x)=3 sin ωx+4 cos ωx
(
0≤x≤π
3
)
的值域为 ，则
cos
(
π
3ω
)
的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用辅助角公式对 化简，可得
f(x)=5sin
(
ωx+φ
)
，再利用 的值域，可求出
π
2≤π
3ω+φ ≤ π −φ
的范围，即得
0<π
2−φ ≤ π
3ω≤ π−2φ<π
，再结合余弦函数的单调性，
，
cos φ=3
5
，即可求出
cos
(
π
3ω
)
的取值范围.
【详解】
f
(
x
)
=3 sin ωx+4 cosωx = 5
[
3
5sin ωx +4
5cos ωx
]
¿5 sin
(
ωx+φ
)
，其中
sin φ=4
5
，
cos φ=3
5
，
因为 ，所以
φ ≤ ωx+φ ≤ π
3ω+φ
，
令
ωx+φ=t
，则
y=5 sin t
的值域为 ，可得
y=sint
的值域为
[
4
5,1
]
又因为
sin φ=4
5
，所以
π
2≤π
3ω+φ ≤ π −φ
，
即
0<π
2−φ ≤ π
3ω≤ π−2φ<π
，且 单调递减，
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