专题13 指数函数恒成立与求参-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 13 指数函数恒成立与求参
目录
【题型一】利用奇偶性单调性求参............................................................................................................................1
【题型二】求参：指数换元一元二次型....................................................................................................................4
【题型三】求参：指数换元对钩函数........................................................................................................................5
【题型四】求参：指数换元双刀函数........................................................................................................................7
【题型五】求参：指数型分段函数含参....................................................................................................................8
【题型六】求参：指数函数求值域..........................................................................................................................10
【题型七】指数型超越函数解不等式......................................................................................................................12
【题型八】指数型“倍增函数”..............................................................................................................................13
【题型九】指数型“放大镜函数”..........................................................................................................................15
【题型十】指数型“高斯函数”..............................................................................................................................18
【题型十一】指数型“复合二次型”求参..............................................................................................................19
培优第一阶——基础过关练.......................................................................................................................................21
培优第二阶——能力提升练.......................................................................................................................................24
培优第三阶——培优拔尖练.......................................................................................................................................28
【题型一】利用奇偶性单调性求参
【典例分析】
．已知函数 ，若 都有 成立，则实数 的取值范
围是（）
A． 或 B．C． 或 D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式可得 单调性和奇偶性，再利用性质可得答案.
【详解】当 时，则 ， ，
当 时，则 ， ， ，所以 为奇函数，
因为 时 为增函数，又 为奇函数，
为 上单调递增函数， 的图象如下，
由 得 ，
所以 ，即 在 都成立，即 ，解得 .故选：D.
【变式训练】
1.定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若对任意的
，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（）
A．2 B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得 为偶函数，且在 上单调递减，根据奇偶性及单调性可得 对
任意的 恒成立，两边平方即可得到 ，再对 分类讨论，分别求出参数
的取值范围，即可得解；
【详解】解：因为定义在 上的函数 满足 ，所以 为偶函数，当 时，
，则当 时 函数在定义域上单调递减， ，
当 时 ，函数在 上单调递减，且当 时 ，所以函数
在 上单调递减，当 时函数图象如下所示：
因为对任意的 ，不等式 恒成立，即 恒成立，即
，平方可得 ；
①当 ，即 时，即 ，对任意的 ，所以 ，即 ，所
以 ；
②当 ，即 时，显然符号题意；
③当 ，即 时，即 ，对任意的 ，所以 ，即 ，
与 矛盾；
综上所述， ，即实数 的最大值为 ；故选：B
2.已知函数 是定义在 上的奇函数，若不等式 在 上恒成立，则
整数 m的最大值为（）
A．B．C．0 D．1
【答案】B
【解析】首先根据 是定义在 上的奇函数，可得 ，即可求出 的值，再利用 的
单调性脱掉 可得可得 在 上恒成立，分离 可得
，求 得最大值即可求解.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 对于 恒成立，
即 ，整理可得： ，因为 ，所以 ，所以
，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以不等式 即不等式 ，
可得 在 上恒成立，所以 ，令 ，则
令 ， ，
因为 ，当且仅当 即 时等号成立，所以 ，
所以 ，即得 ，所以整数 m的最大值为 ，故选：B
3.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，函数 ，如果对于
任意 ，存在 ，使得 ，则实数 m的取值范围是（）
A．[2，5] B．C．[2，3] D．
【答案】A
【解析】利用 的奇偶性及指数函数的单调性求出当 时 的值域 A，由二次函数的单调性求
出 在 上的值域 B，由题意知 ，列出不等式组求解即可.
【详解】当 时， ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，当 时， ，记 ，
，对称轴为 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， ，
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