专题09 【大题限时练9】-备战2022年海南高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 09 大题限时练 9
1．已知数列
{ }
n
a
是单调递增的等差数列，且
1 4
40a a 
，
2 4
28a a 
．
（Ⅰ）求数列
{ }
n
a
的通项公式及前
n
项和；
（Ⅱ）设
*
1
( )
2
n
nn
a
b n N
 
，求数列
{ }
n
b
的前
n
项和．
【答案】（Ⅰ）
，
2
3
n
S n n 
；（Ⅱ）
3 4
42
nn
n
T
 
【详解】解：（Ⅰ）因为数列
{ }
n
a
是等差数列，所以
2 4 3
2 28a a a 
，即
3
14a
，
所以
1
2 14a d 
，
又
1 4 1 1
( 3 ) 40a a a a d 
，即
(14 2 )(14 ) 40d d  
，解得
6d
或
13
，
由数列
{ }
n
a
递增，知
6d
，
所以
12a
，
所以
，
2
3
n
S n n 
．
（Ⅱ）
，
所以
2 3 1
1 4 7 3 5 3 2
2 2 2 2 2
nn n
n n
T
 
  
，
所以
2 3 1
1 1 4 3 5 3 2
2 2 2 2 2
nn n
n n
T
 
 
，
两式相减得，
2 3 1 1
1 1 1 1 1 3 2 3 4
3( ) 2
2 2 2 2 2 2 2
nn n n
n n
T
 
 
 
，
所以
3 4
42
nn
n
T
 
．
2．在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
a
，
b
，
c
是公差为 1的等差数列．
（Ⅰ）若
3
cos cos 2
c B b C 
，求
ABC
的面积；
（Ⅱ）是否存在整数
a
使得
ABC
为钝角三角形？若存在，求此钝角的余弦值；否则，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）
1 15 3
sin
2 16
ABC
S ab C
 
；（Ⅱ）见解析
【详解】解：（Ⅰ）
2 2 2 2 2 2
3
cos cos 2 2 2
a c b a b c
c B b C c b a
ac ab
 
   
，
a
，
b
，
c
是公差为 1的等差数列，
5 7
,
2 2
b c 
，
故
2 2 2
1
cos 2 2
a b c
Cab
 
 
，
，
1 15 3
sin
2 16
ABC
S ab C
 
；
（Ⅱ）由
ABC
为钝角三角形，可得
2 2 2
c a b 
，
所以
2 2 2
( 2) ( 1) 3a a a a  
，
显然
1a
，
2b
，
3c
，不能构成三角形，
当
2a
，
3b
，
4c
可构成三角形，
此时
4 9 16 1
cos 12 4
C 
 
．
3．如图，四边形
ABCD
是正方形，
PA
平面
ABCD
，
/ /EB PA
，
4AB PA 
，
2EB
，
F
为
PD
的中
点．
（Ⅰ）求证：
AF PC
；
（Ⅱ）求证：
/ /BD
平面
PEC
；
（Ⅲ）求二面角
D PC E 
的大小．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
5
6
【详解】证明：（Ⅰ）依题意，
PA
平面
ABCD
．
如图，以
A
为原点，分别以
AD

、
AB

、
AP
的方向为
x
轴、
y
轴、
z
轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，可得
(0A
，0，
0)
，
(0B
，4，
0)
，
(4C
，4，
0)
，
(4D
，0，
0)
，
(0P
，0，
4)
，
(0E
，4，
2)
，
(2F
，0，
2)
．
因为
(2, 0, 2)AF

，
(4,4, 4)PC  
，
所以
8 0 ( 8) 0AF PC  
 
．
所以
AF PC
．
（Ⅱ）取
PC
的中点
M
，连接
EM
．
因为
(2M
，2，
2)
，
(2, 2,0)EM  
，
(4, 4,0)BD  
，
所以
2BD EM
              
，所以
/ /BD EM
．
又因为
EM
平面
PEC
，
BD
平面
PEC
，
所以
/ /BD
平面
PEC
．
解：（Ⅲ）因为
AF PD
，
AF PC
，
PD PC P
，
所以
AF
平面
PCD
，故
(2,0, 2)AF

为平面
PCD
的一个法向量．
设平面
PCE
的法向量为
( , , )n x y z
，
因为
(4, 4, 4)PC  
，
(0, 4, 2)PE  

，
所以
0
0
n PC
n PE

即
4 4 4 0
4 2 0
x y z
y z
 
 
令
1y 
，得
1x 
，
2z 
，故
( 1, 1, 2)n 
．
所以
2 0 4 3
cos , 2
2 2 6
AF n  
  

，
所以二面角
D PC E 
的大小为
5
6
．
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