专题07 函数：高中常见函数的单调性与值域、最值-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 7 常见函数的单调性与值域、最值
目录
【题型一】单调性定义.................................................................................................................................................1
【题型二】1：反比例函数...........................................................................................................................................3
【题型三】2：一元二次函数.......................................................................................................................................5
【题型四】3：分段函数...............................................................................................................................................7
【题型五】4：“对勾”函数.......................................................................................................................................8
【题型六】5：“双刀”函数（双曲函数）............................................................................................................10
【题型七】6：无理函数.............................................................................................................................................12
【题型八】7：max 与 min 函数..................................................................................................................................14
【题型九】8：“放大镜”函数................................................................................................................................15
【题型十】9：取整函数（高斯函数）....................................................................................................................17
培优第一阶——基础过关练.......................................................................................................................................19
培优第二阶——能力提升练.......................................................................................................................................22
培优第三阶——培优拔尖练.......................................................................................................................................25
【题型一】单调性定义
【典例分析】
下列说法错误的是（）
A．函数 的定义域为 ，若 ，当 时， ，则函数 是 上的减函数
B．函数 的定义域为 ，若 ，当 时， ，则函数 不是 上的增函数
C．若函数 在 上是增函数，在 上也是增函数，则函数 在 上是增函数
D．若函数 在 上是增函数，在 上也是增函数，则函数 在 上是增函数
【答案】C
【分析】根据函数单调性定义知 AB 正确，举出反例 知 C错误，D选项两区间有重合部分，正确，
得到答案.
【详解】由减函数的定义，知 A说法正确；
对于 B， ，当 时， ，所以 不是 上的增函数，B说法正确；
对于 C，若 ，则 在[0，1]和（1，2]上均是增函数，但 在[0，2]上不是增函数，C说法
错误；
对比 C选项，D选项两区间有重合部分，正确.
故选：C．
【提分秘籍】
基本规律
单调性的运算关系：
①一般认为，－f(x)和均与函数 f(x)的单调性 相反 ；
②同区间，↑+↑=↑，↓+↓=↓，↑－↓=↑，↓－↑=↓；
(2)单调性的定义的等价形式：设 x1，x2[∈a，b]，那么有：
①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ；
②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；
(3)复合函数单调性结论： 同增异减 ．
【变式训练】
1.若函数 在 上是增函数，对于任意的 ， （ ），则下列结论不正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．
【详解】解：由函数的单调性定义知，若函数 在给定的区间上是增函数，则 ，与 同号，由此
可知，选项 A，B，D都正确.
若 ，则 ，故选项 C不正确.
故选：C.
2.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）
A．若 为增函数， 为增函数，则 为增函数
B．若 为减函数， 为减函数，则 为减函数
C．若 为增函数， 为减函数，则 为增函数
D．若 为减函数， 为增函数，则 为减函数
【答案】C
【解析】根据函数的单调性定义及性质，可判断选项 A，B，D选项正确，选项 C可结合具体函数说明其不正确.
【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，
选项 A,B 正确；
选项 D: 为增函数，则 为减函数， 为减函数， 为减函数，选项 D正确；
选选 C:若 为增函数， 为减函数，则 的增减性不确定.
例如 为 上的增函数，当 时， 在 上为增函数；
当 时， 在 上为减函数，故不能确定 的单调性.故选:C
3.下列函数 中，满足“对任意 ，且 都有 ”的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对任意 ， ，且 都有 ，可知函数 在 上单调递减，结合选项即可
判断．
【详解】“对任意 ， ，且 都有 ”，
函数 在 上单调递减，
结合选项可知，
A： 在 单调递增，不符合题意，
B： 在 单调递增，不符合题意，
C： 在 单调递增，不符合题意，
D： 在 单调递减，符合题意.
故选：D．
【题型二】1：反比例函数
【典例分析】
， ，则 取得最大值时的 x值为______．
【答案】45
【分析】先对函数变形，判断函数的单调性，从而可求出函数的最值
【详解】 ，
此函数是由反比例函数 向右平移 个单位，再向上平移 1个单位得到的，
所以 在 和 上单调递减，
因为 ， ，
所以 取得最大值时的 x值为 45．
故答案为：45
【提分秘籍】
基本规律
反比例函数分式函数求值域：
1.若分子与分母同次用：分离常数法，
2.若分子与分母不同次用：上下同除法
【变式训练】
1.关于函数 ，下列说法正确的是（）
A．若 ，则函数只有最大值没有最小值
B．若 ，则函数只有最小值没有最大值
C．若 ，则函数有最大值没有最小值
D．若 ，则函数有最小值也有最大值
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质求出函数的最值即可.
【详解】函数的定义域为 ，
，
专题07 函数：高中常见函数的单调性与值域、最值-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

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