专题07 【大题限时练7】-备战2022年海南高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 07 大题限时练 7
1．在①：
8a
，
1
cos 7
A 
；②：
1
cos 2
C
，
1
cos 7
B
这两个条件中任选一个，补充到下面问题中进行
解答．
问题：在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
，
c
，已知
10b c 
，_____．求
c
的值和
ABC
的
面积．
【答案】见解析
【详解】解：选条件①：
8a
，
1
cos 7
A 
；
由余弦定理得：
2 2 2 2
2 cos ( ) 2 2 cosa b c bc A b c bc bc A  
，
代入
8a
，
1
cos 7
A 
，
10b c 
，
整理得：
21bc
．
解得
3b
，
7c
，或
7b
，
3c
．
所以
7c
或3，
由于
0A
 
，所以
sin 0A
，
由于
1
cos 7
A 
，
所以
4 3
sin 7
A
，
则
1 1 4 3
sin 3 7 6 3
2 2 7
ABC
S bc A
 
．
选条件②时：
1
cos 2
C
，
所以
3
sin 2
C
，
由于
1
cos 7
B
，
所以
4 3
sin 7
B
，
由正弦定理：
sin sin
b c
B C
，整理得
7 8b c
，
联立
10b c 
，
解得
16 14
,
3 3
b c 
．
所以
5 3
sin sin( ) sin cos cos sin 14
A B C B C B C  
，
则
1 1 14 16 5 3 40 3
sin
2 2 3 3 14 9
ABC
S bc A
 
．
2．已知数列
{ }
n
a
满足
1
1a
，
1
12( *)
n
n
an N
a
 
．
（Ⅰ）求证：
{ 1}
n
a
为等比数列，并求出数列
{ }
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）若
1 2n n n n
b a a a
 
 
，求数列
{ }
n
b
的前
项和
n
T
．
【答案】（Ⅰ）
2 1
n
n
a 
；（Ⅱ）
n
T
1 2 1
2 (2 1)
7 (2 2 ... 2 ) 3 7 3 7 2 3 14
2 1
n
n n
n
T n n n
 
     
【详解】证明：（Ⅰ）数列
{ }
n
a
满足
1
1a
，
1
12( *)
n
n
an N
a
 
．
整理得
1
1 2 2
n n
a a
 
，
故
1
12
1
n
n
a
a
（常数），
所以：数列
{ 1}
n
a
是以 2为首项，2为公比的等比数列．
所以：
2 1
n
n
a 
．
解：（Ⅱ）
1 2
7 2 3
n
n n n n
b a a a
 
 
，
所以
1 2 1
2 (2 1)
7 (2 2 ... 2 ) 3 7 3 7 2 3 14
2 1
n
n n
n
T n n n
 
     
．
3．菱形 中， ， 平面 ， ， ．
（Ⅰ）证明：直线 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）线段 上是否存在点 使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求 ；若
不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）
【详解】解：（Ⅰ）证明：取 中点 ，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴，
轴正方向的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ， ， ， ， ， ， ，0， ， ，0， ， ，0， ．
，0， ， ， ， ，
设 ， ， 为平面 的法向量，
则 ，取 ，得 ，1， ，
又 ， ， ，得 ，
又 直线 平面 ， 直线 平面 ．
（Ⅱ）解： ，0， ， ， ， ， ，0， ，
设 ， ， 为平面 的法向量，
则 ，取 ，得 ，
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