专题03 均值不等式基础方法15类总结-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 3 均值不等式基础方法 15 类总结
目录
一、热点题型归纳
【题型一】对勾型.........................................................................................................................................................2
【题型二】 添加常数构造“对勾型”......................................................................................................................3
【题型三】“和定求积”型.........................................................................................................................................5
【题型四】“积定求和”型.........................................................................................................................................6
【题型五】单元（单变量）分离常数型....................................................................................................................7
【题型六】“常数”因子法：.....................................................................................................................................8
【题型七】“单分母”构造因子法............................................................................................................................9
【题型八】“双分母”构造法...................................................................................................................................11
【题型九】有和有积无常数型...................................................................................................................................12
【题型十】有和有积有常数型：求“积”型..........................................................................................................14
【题型十一】 有和有积有常数型：求“和”型....................................................................................................15
【题型十二】多元分离型...........................................................................................................................................16
【题型十三】反解消元型...........................................................................................................................................18
【题型十四】换元型...................................................................................................................................................19
【题型十五】较简单的三元均值..............................................................................................................................21
培优第一阶——基础过关练.......................................................................................................................................23
培优第二阶——能力提升练.......................................................................................................................................27
培优第三阶——培优拔尖练.......................................................................................................................................30
知识点综述：
1. 基本不等式：：a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)；
2.常用不等式：≤；
(1) 基本不等式成立的条件：a >0 ， b >0 ；
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b .
简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．
3.基本不等式的变形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；② ab≤2，常用于求积的最大值；
4.重要不等式链：≥ ≥≥；
【题型一】对勾型
【典例分析】
（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x-2y）+ ≥2 成立的前提条件为（ ）
A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y
【答案】B
【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.
【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正
数，所以不等式 成立的前提条件为 ，即 .
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
对勾型： ，
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如
1.
2.
【变式训练】
1.（2022·全国·高一专题练习）若 ， ，则 的最小值是（ ）
A．B．C．4 D．2
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求出 和 的最小值，相加可得出结果.
【详解】由基本不等式得 ，
当且仅当 ， 时等号成立，因此， 的最小值为 .
故选 A.
2.（2022·河南驻马店·高一期末）已知 a>0，则当 取得最小值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵a>0，∴ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故选：C
【题型二】 添加常数构造“对勾型”
【典例分析】
（2022·吉林延边·高一期末）已知 ，则函数 的最小值是（ ）
A．B．C．2 D．
【答案】D
【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】由题设， ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴函数最小值为 .故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
对于形如
，则把 cx+d 转化为分母的线性关系： 可消去。
不必记忆，直接根据结构转化
【变式训练】
1.．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）若 在 处取得最小值，
则 （ ）
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