第二章 函数 章末测试试卷-【新教材精析】2022-2023学年高一数学上学期同步教学精品课件+综合训练(北师大版2019必修第一册)（解析版）

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第二章 函数（B卷·能力提升练）
（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．（2021·天津市宝坻区第九中学高一阶段练习）已知
f
(
x
2−1
)
=2x+3
，则
f(6)
的值为（　　）.
A．15 B．7 C．31 D．17
【答案】C
【解析】利用换元法求得
f
(
x
)
=4x+7
，代入即可得解.
【详解】令
t=x
2−1
，则
x=2t+2
，所以
f
(
t
)
=2
(
2t+2
)
+3=4t+7
即
f
(
x
)
=4x+7
，
所以
.
故选：C．
2．（2022·山西吕梁·高一开学考试）函数
f(x)= x
x −1+❑
√
x − 1
的定义域是（）.
A．
¿
B．
¿
C．
(− ∞ , 1)∪(1,+∞)
D．
(1,+∞)
【答案】D
【分析】根据解析式有意义可得关于
x
的不等式组，其解集为函数的定义域.
【详解】由解析式有意义可得
{
x −1≥0
x −1≠0
)
，故
x>1
，
故函数的定义域为
(1,+∞)
故选：D.
3．（2019·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知函数
f
(
x
)
=
{
2x − x2, x>0
x+1, x≤ 0
)
，则
f
(
f
(
3
)
)
的值是（　
）.
A．
−2
B．
−6
C．
−8
D．
−15
【答案】A
【分析】直接代入求值即可.
【详解】因为
f
(
x
)
=
{
2x − x2, x>0
x+1, x ≤ 0
)
，所以
f
(
f
(
3
)
)
=f
(
−3
)
=−2
.
故选：A.
【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，属基础题.
4．（2021·湖北·随州市曾都区第一中学高一阶段练习）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）.
A．
y=x+1
B．
y=− x2
C．
y=−1
x
D．
y=x
|
x
)
【答案】D
【分析】根据奇偶函数的定义和初等函数的单调性逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于 A：
y=x+1
的定义域为
R
关于原点对称，
f
(
− x
)
=− x +1
，可知
f
(
− x
)
≠ f
(
x
)
且
f
(
− x
)
≠ − f
(
x
)
，所以
y=x+1
是非奇非偶函数，是增函数，故选项 A不正确；
对于 B：
y=− x2
的定义域为
R
关于原点对称，
f
(
− x
)
=−
(
− x
)
2=− x2=f
(
x
)
，所以
y=− x2
是偶函数，故选
项B不正确；
对于 C：
y=−1
x
的定义域为
(
− ∞ , 0
)
∪
(
0,+∞
)
，关于原点对称，且
f
(
− x
)
=−1
(
− x
)
=1
x=− f
(
x
)
是奇函数，在
(
− ∞ , 0
)
和
(
0,+∞
)
单调递增，但不是定义域内的增函数，故选项
C不正确；
对于 D：
y=x
|
x
)
=
{
x2, x ≥ 0
− x2, x <0
)
，作出其图象如图所示：
y=x
|
x
)
图象关于原点对称，是奇函数，且是增函数，故选项 D正确；
故选：D.
5．（2021·全国·高一单元测试）设函数
f(x)
的定义域为 R，
f(x+1)
为奇函数，
f(x+2)
为偶函数，当
x∈[1,2]
时，
f(x)=a x2+b
，若
f(0)+f(3)=3
，则
f(13
2)=¿
（）.
A．
−9
4
B．
−5
4
C．
7
2
D．
5
2
【答案】B
【分析】通过
f(x+1)
是奇函数和
f(x+2)
是偶函数可以确定函数
f(x)
的解析式与周期，进而求出结果.
【详解】因为
f(x+1)
是奇函数，所以
f(− x +1)=− f (x+1)
①，且
f(x)
关于点
(1，0)
对称，
因为
f(x+2)
是偶函数，所以
f(x+2)=f(− x+2)
②，且
f(x)
关于
x=2
对称，
所以
f(x)
的周期为
4×(2−1)=4
，
令
x=1
，由①得
f(0)=− f (2)
，由②得
f(3)=f(1)
又
f(0)+f(3)=3
，所以
− f (2)+f(1)=−4a −b+a+b=3
，
a=−1
，
令
x=0
，由①得
f(1)=− f (1)⇒f(1)=0⇒b=1
，
所以
f(x)=− x2+1
，
x∈[1，2]
，
所以
f(13
2)=f(5
2)=f(3
2)=−5
4
.
故选：B
6．（2021·江苏·高一单元测试）函数
y=f
(
x
)
的图象是如图所示的折线段
OAB
，其中
A
(
1,2
)
，
B
(
3,0
)
，函
数
g
(
x
)
=x⋅f
(
x
)
，那么函数
g
(
x
)
的值域为（）.
A．
[
0,2
)
B．
[
0,9
4
)
C．
[
0，3
2
)
D．
[
0,4
)
【答案】B
【分析】根据图象可得
f
(
x
)
的解析式，进而可得
g
(
x
)
的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各
段的值域，再求并集即可求解.
【详解】由题图可知，
kOA =2−0
1−0=2
，所以直线
OA
的方程是
y=2x
，
因为
kAB =0−2
3−1=−1
，所以直线
AB
的方程为
y=−
(
x − 3
)
=− x +3
，
所以
f
(
x
)
=
{
2x , 0≤ x ≤ 1
− x +3,1<x ≤3
)
，
所以
g
(
x
)
=x⋅f
(
x
)
=
{
2x2,0≤ x ≤1
− x2+3x ,1<x ≤3
)
，
当
0≤ x ≤ 1
时，
g
(
x
)
=2x2
在
[
0,1
)
上单调递增，此时函数
g
(
x
)
的值域为
[
0,2
)
；
当
1<x≤ 3
时，
g
(
x
)
=− x2+3x=−
(
x − 3
2
)
2
+9
4
，
所以当
x=3
2
时，函数
g
(
x
)
取得最大值
9
4
；当
x=3
时，函数
g
(
x
)
取得最小值
0
，
此时函数
g
(
x
)
的值域为
[
0,9
4
)
，
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