2023年中考数学高频考点突破-二次函数的最值问题

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2023 年中考数学高频考点突破-二次函数的最值问题

一、综合题

1．某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为 20 元，销售价格在 30 元至 80 元之间（含 30

元和 80 元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计 50 万元，其销售量

y（万个）与销售价格 x（元/个）的函数关系如图所示．

（1）当 30≤x≤60 时，求 y与x的函数关系式；

（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润 w（万元）与销售价格 x（元/个）的函数关系式；

（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？

2．在平面直角坐标系中，设二次函数 y1＝ax2+2x+c，y2＝cx2+2x+a（a，c是实数且 ac≠0）．

（1）若函数 y1的对称轴是直线 x＝1且函数 y1的图象经过点（0，3），求函数 y1的表达式．

（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤0 时，y2的取值范围．

（3）设函数 y1和函数 y2的最大值分别为 m和n．若 m+n＝0，探究实数 a，c满足的关系式．

3．已知

x=t2−3，y=1+t，S=x+8y

（1）求 S与t的函数关系式；

（2）当

t=2

时，求 S的值；

（3）求 S的最大值或最小值.

4．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为 10 元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销

售不会亏本，且每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示．

（1）求 y与x的函数关系式，并写出 x的取值范围．

（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

5．已知锐角△ABC 中，边 BC 长为 12，高 AD 长为 8．

（1）如图，矩形 EFGH 的边 GH 在BC 边上，其余两个顶点 E、F分别在 AB、AC 边上，EF 交

AD 于点 K．

①求

的值；

②设 EH=x，矩形 EFGH 的面积为 S，求 S与x的函数关系式，并求 S的最大值；

（2）若 AB=AC，正方形 PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两

边上，直接写出正方形 PQMN 的边长．

6．表是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分 x，y的对应值：

x…﹣1﹣

3…

y…m

﹣1

−7

﹣2

−7

﹣1

2…

（1）二次函数图象的开口向　　，顶点坐标是　　，m的值为　　；

（2）当 x＞0时，y的取值范围是　　；

（3）当抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在直线 y=x+n 的下方时，n的取值范围是　　．

7．如图

①

，在

Rt △ABC

中，

∠C=90 °

，

是

上一点

不与点

，

重合

，以

为圆心，

长

为半径作

⊙A

交

于点

，连结

并延长交

⊙A

于点

，连结

，

（1）求证：

∠EAF=2∠BDE

；

（2）如图

②

，若

∠EBD=2∠EFD

，求证：

DF =2CD

；

（3）如图

③

，

BC=6

，

AC=8

①

若

∠EAF=90 °

，求

⊙A

的半径长；

②

求

BE⋅DE

的最大值.

8．我县某公司参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．

根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量

（单位：个）与销售单价

（单位：元/

个）之间的关系式为

y=−30 x+600

．

（1）若许愿瓶的进价为 6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润

（单位：元）

与销售单价

（单位：元/个）之间的函数关系式；

（2）在（1）问的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过 900 元，要想获得最大利润，试确定这种

许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．

9．如图，已知抛物线

y=a x2+bx +c(a≠ 0)

的顶点坐标为 Q（2，-1），且与 y轴交于点

C（0，3），与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的右侧），点 P是该抛物线上的一动点，从点 C沿

抛物线向点 A运动（点 P与A不重合），过点 P作PD y∥轴，交 AC 于点 D．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）求点 P在运动的过程中，线段 PD 的最大值；

（3）当△ADP 是直角三角形时，求点 P的坐标；

（4）在题（3）的结论下，若点 E在x轴上，点 F在抛物线上，问是否存在以 A、P、E、F为顶

点的平行四边形？若存在，求点 F的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线

L：y=a x2+bx +c

经过点

A(0，−7

，点

B(1，1

，点

C(−1，−7

，点

P(m，n)

为抛物线 L上任意一点．

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