8.6双曲线方程及其性质（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.6 双曲线方程及其性质

【题型解读】

【知识必备】

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定

点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

2．双曲线的标准方程和简单几何性质

标准方程－＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)

图形

性质

焦点 F1( － c ， 0) ， F 2( c ， 0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c )

焦距 | F 1F2| ＝ 2 c

范围 x ≤ － a

或x ≥ a ，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点 A1( － a ， 0) ， A 2( a ， 0) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a )

轴实轴：线段 A1A2，长：2 a ；虚轴：线段 B1B2，长：2 b ，实半轴长：a，

虚半轴长：b

离心率 e＝∈(1 ，＋ ∞ )

渐近线 y＝±x y＝±x

a，b，c的关系 c2＝a 2

＋ b 2

(c>a>0，c>b>0)

必备结论

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.

(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.

(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其

中θ为∠F1PF2.

(5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．

【题型精讲】

【题型一双曲线的定义及应用】

例1 （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为， .双曲线上有一

点，若，则 ______.

【答案】1或13

【解析】因为双曲线：，

所以 a=3，

所以，

又因为，

所以或，

故答案为：1或13.

例2 （2022·福建高三期末）已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆 C1和圆 C2

相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为(　　)

A．x2－＝1

B.－y2＝1

C．x2－＝1(x≤－1)

D．x2－＝1(x≥1)

【答案】C

【解析】设圆 M的半径为 r，由动圆 M同时与圆 C1和圆 C2相外切，

得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，

|MC2|－|MC1|＝2<6，

所以点 M的轨迹是以点 C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，

且2a＝2，a＝1，又 c＝3，

则b2＝c2－a2＝8，

所以点 M的轨迹方程为 x2－＝1(x≤－1)．

例3 （2022·全国·高三专题练习）（多选题）若曲线 C的方程为，则（˜˜˜˜）

A．当时，曲线 C表示椭圆，离心率为

B．当时，曲线 C表示双曲线，渐近线方程为

C．当时，曲线 C表示圆，半径为 1

D．当曲线 C表示椭圆时，焦距的最大值为 4

【答案】BC

【解析】选项 A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，

离心率为，A错；

选项 B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；

选项 C，时，曲线方程为，表示圆，半径为 1，C正确；

选项 D，曲线 C表示椭圆时，或，

时，，，，

所以，即，无最大值．D错．

故选：BC．

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