8.4椭圆及其性质（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.4 椭圆及其性质
【题型解读】
【知识必备】
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点 F1，F2叫做椭
圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
图形
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
范围 － a ≤ x ≤ a
且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b
且－ a ≤ y ≤ a
顶点 A1( － a ， 0) ， A 2( a ， 0)
B1(0 ，－ b ) ， B 2(0 ， b )
A1(0 ，－ a ) ，
A2(0 ， a )
B1( － b ， 0) ，
B2( b ， 0)
轴长 短轴长为 2 b ，长轴长为 2 a
焦点 F1( － c ， 0) ， F 2( c ， 0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c )
焦距 |F1F2|＝2 c
对称性 对称轴：x
轴和
y
轴 ，对称中心：原点
离心率 e＝(0<e<1)
a，b，c的关
系a 2
＝ b 2
＋ c 2
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大， 最大．
(2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
【题型精讲】
【题型一 椭圆的定义及应用】
例1 （2022·全国·高三专题练习）下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点 F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点 P的轨迹为椭圆；
②已知定点 F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点 P的轨迹为线段；
③到定点 F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
【答案】　②
【解析】　①<2，故点 P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点 P的轨迹是线段 F1F2；③
到定点 F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线(y轴)．
例2 （1）（2022·福建高三期末）如果 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是
（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·江苏省苏州实验中学高三期中）方程 表示椭圆，则实数 的取值范围（ ）
A．B．C．D． 且
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1） 转化为椭圆的标准方程，得 ，因为 表示焦点在 轴上
的椭圆，所以 ，解得 .所以实数 的取值范围是 .选A.
（2）方程 表示椭圆，若焦点在 x轴上， ；若焦点在 y轴上， .
综上：实数 的取值范围是 且 故选：D
例3 已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆 M在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2
相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
【解析】(1)设圆 M的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以 M的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
例4 （2022·全国高三模拟）已知椭圆 ， ， ，点 是椭圆上的一动点，则
的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知 为椭圆的右焦点，设左焦点为 ，由椭圆的定义知 ，
所以 .又 ，
如图，设直线 交椭圆于 ， 两点.当 为点 时， 最小，最小值为 .故选：
B
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