5.3.2.2 函数的最大(小)值-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

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5.3.2.2　函数的最大(小)值
【考点梳理】
考点一　函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数 f(x)，给定区间 I，若对任意 x∈I，存在 x0∈I，使得 f(x)≥f(x0)，则称 f(x0)为函数 f(x)在区间 I上的最小
值；若对任意 x∈I，存在 x0∈I，使得 f(x)≤f(x0)，则称 f(x0)为函数 f(x)在区间 I上的最大值．
考点二　求函数的最大值与最小值的步骤
函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数 f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数 f(x)的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0、等于 0、小于 0 三种情况．若
导函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后
求极值，再与端点值比较后确定最值．
【题型归纳】
题型一：函数的最值与极值的关系
1．（2021·全国·高二）已知函数 的导函数图像，如图所示，那么函数 （）
A．在 上单调递增 B．在 处取得极小值
C．在 处切线斜率取得最大值 D．在 处取得最大值
2．（2021 秋·河北石家庄·高二河北新乐市第一中）已知函数 在（1，2）上有最值，则 a的取
值范围是（）
A．B．C．D．
3．（2022 秋·福建泉州·高二校联考期中）已知函数 ，以下结论中错误的是（）
A． 是偶函数 B． 有无数个零点
C． 的最小值为 D． 的最大值为
题型二：不含参函数的最值问题
4．（2022 秋·四川乐山·高二统考期末）已知函数 ，则函数 在 的最小值为（）
A．1 B．C．D．
5．（2022 春·陕西渭南·高二统考期末）已知函数 在 处取得极值.
(1)求实数 的值；
(2)求函数 在 上的最大值和最小值.
6．（2022·全国·高二假期作业）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间与极值；
(2)求函数 在区间 上的最值．
题型三：含参函数的最值问题
7．（2022 春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的最大值.
8．（2022 秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上无零点，求实数 a的取值范围.
9．（2022 秋·四川凉山·高二统考期末）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 a的取值范围．
题型四：由函数的最值求参数问题
10．（2022 秋·四川雅安·高二统考期末）若不等式 在 上恒成立，则实数 a的取值范围
是（）
A．B．C．D．
11．（2022 秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若关于 x的不等式 对
恒成立，则实数 a的取值范围为（）
A．B．C．D．
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