4.8解三角形中的多个三角形问题（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 25 4 481.1KB 8 页 3知币
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4.8 解三角形中的多个三角形问题
【题型解读】
【题型一　多三角形中基本量的计算】
1.（2022·全国·高三课时练习）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB＝2，BD
＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD 的面积为 2．
(1)求AD 的长；
(2)求△CBD 的面积．
【解析】(1)由已知 S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得 sin∠ABD＝，
又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，所以 cos∠ABD＝．
在△ABD 中，由余弦定理 AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得 AD2＝5，所以 AD
＝．
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，所以 sin∠CBD＝cos∠ABD＝．
又∠BCD＝2∠ABD，所以 sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD 为等腰三角形，即 CB＝CD．
在△CBD 中，由正弦定理＝，得 CD＝＝＝，
所以 S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝．
2.（2022·全国·高三专题练习）如图，在
△ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
，
b=2
，
2ccos C=b
，
D
，
E
分别为线段
BC
上的点，且
BD=CD
，
∠BAE=∠CAE
．
（1）求线段
AD
的长；
（2）求
△ADE
的面积．
【答案】（1）2 （2）
❑
√
15
6
【解析】（1）因为
c=4
，
b=2
，所以
cos C=b
2c=1
4
．
由余弦定理，得
cos C=a2+b2−c2
2ab =a2+4−16
4a=1
4
，
所以
a=4
，即
BC=4
，所以
CD=2
．
在
△ACD
中，
A D2=A C 2+C D2−2AC ⋅CD ⋅cos ∠ACD=6
，
所以
AD=❑
√
6
．
（2）因为
AE
是
∠BAC
的平分线，
所以
S△ABE
S△ACE
=
1
2
AB ⋅AE ⋅sin ∠BAE
1
2
AC ⋅AE ⋅sin ∠CAE
=AB
AC =2
，
又
S△ABE
S△ACE
=BE
EC
，所以
BE
EC =2
，所以
CE=1
3
BC =4
3
，
所以
DE=2−4
3=2
3
．
又因为
cos C=1
4
，所以
sin C=❑
√
1−cos2C=❑
√
15
4
，
所以
S△ADE =1
2
× DE × AC ⋅sin C=❑
√
15
6
3．（2022·全国高三单元测试）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为
△ABC 内一点，∠BPC＝90°．
(1)若PB＝，求 PA；
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA．
【解析】(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°．
在△PBA 中，由余弦定理得 PA2＝AB2＋PB2－2AB·PBcos∠PBA＝3＋－2××cos 30°＝．故 PA
＝．
(2)设∠PBA＝α，由已知得＝cos，即 PB＝sin α．
在△PBA 中，由正弦定理得＝，化简得 cos α＝4sin α．
所以 tan α＝，即 tan∠PBA＝．
4．（2022·合肥百花中学高三期末）如图，在四边形
ABCD
中，
7 , 2 ,AC CD AD 
2.
3
ADC
 
（1）求
CAD
的正弦值；
（2）若
2BAC CAD  
，且△
ABC
的面积是△
ACD
面积的 4倍，求
AB
的长.
【答案】（1）
21
7
（2）
7
【解析】（1）在
ACD
中，设
( 0)AD x x 
，
由余弦定理得
2 2
2
7= 4 2 2 cos 3
x x x x  
，整理得
2
7 7x
，解得
1x
.
所以
1, 2.AD CD 
由正弦定理得
2
sin sin 3
DC AC
DAC
，解得
21
sin .
7
DAC 
（2）由已知得
4
ABC ACD
S S
 
，所以
1 1
sin 4 sin
2 2
AB AC BAC AD AC CAD    
，
化简得
sin 4 sin .AB BAC AD CAD   
所以
2sin cos 4 sin ,AB CAD CAD AD CAD  
于是
cos 2 .AB CAD AD 
因为
21
sin 7
CAD 
，且
CAD
为锐角，
所以
2
2 7
cos 1 sin 7
CAD CAD  
.
代入计算
2 7 2 1
7
AB  
因此
7.AB
5．（2022·全国高三课时练习）如图，在△ABC 中，D为边 BC 上一点，AD＝6，BD＝
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