1.2逻辑用语与充分、必要条件（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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1.2 逻辑用语与充分、必要条件

【题型解读】

【知识储备】

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件 p⇒q且q

⇏

p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p

p是q的充要条件 p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p

2．集合判断法判断充分条件、必要条件

若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则

（1）若，则是的充分条件；

（2）若，则是的必要条件；

（3）若，则是的充分不必要条件；

（4）若，则是的必要不充分条件；

（5）若，则是的充要条件；

（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.

3.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称语言表示符号表示命题的否定

全称命题

对M中任意一个 x，有

p(x)成立

∀ x ∈ M ， p ( x )

特称命题存在 M中的一个 x0，

使p(x0)成立

∃x0∈M，p(x0)

【题型精讲】

【题型一　充分、必要条件的判定】

必备技巧充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据 p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．

例1　（2021·浙江）已知非零向量

⃗

a ,

⃗

b ,

⃗

，则“

⃗

a⋅

⃗

b⋅

⃗

”是“

⃗

”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B.

【解析】若

⇀

⊥b

⇀

且, c

⇀

⊥b

⇀

,则a

⇀

· c

⇀

·c

⇀

=0,

但

→

不一定成立, 故充分性不成立;若

⃗

时,

⇀

· c

⇀

· c

⇀

一

定成立,故必要性成立, 故“

⃗

a⋅

⃗

b⋅

⃗

”是“

⃗

”的必要不充分条件故答案为：B.

例2　（2022·天津·一模）设，则“ ”是“ ”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】解不等式可得，，

又，反之不成立，

所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，

故选：B.

例3　（2022·全国·模拟预测）“ ”是“直线与直线平行”的

（r）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】“直线与直线平行”

因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立；

当直线与直线平行时，，解得或，

当时，直线与直线重合，

当时，直线，直线平行，故充要条件成立．故选：A．

【题型精练】

1. （2022·天津河东·一模）“ 且 ”是“ ”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当且时，不成立，因为时，无意义，所以充分性不成立.

当时，有可能得到且，所以不是必要条件.

因此“ 且 ”是“ ”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

2．（2022•福州模拟）“ ”是“ ”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解答】解：，，，

①若“ “，则，即，所以具有充分性；

②若，则，不一定可以推到，如，，

，但，所以不具有必要性；

故选：．

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