1.2 空间向量基本定理-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.0 cande 2025-05-11 17 4 2.45MB 41 页 3知币
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1.2　空间向量基本定理
【考点梳理】
考点一　空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋
zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
考点二　空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是 1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}
表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk使得 a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一
个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
考点三　证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb.
(2) 如果两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa
＋yb.
考点三　求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则 cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0.
知识点三　求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
【题型归纳】
题型一：空间向量基底概念
1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
2．（2021·云南师大附中高二期中）已知 能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基
底的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：空间基底表示向量
4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥 中，设 ，
若 ，则 =（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体 中， ，点 在 上，且 为
中点，则 （ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体 OABC 中， ， ， ，点 在线
段 上，且 ， 为 的中点，则 等于（ ）
A．B．
C．D．
题型三：空间向量基本定理判断共面
7．（2022·全国·高二）已知 ， ， 三点不共线， 为平面 外一点，下列条件中能确定 ， ， ， 四
点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·高二）对空间任一点 O和不共线三点 A､B､C，能得到 P､A､B､C四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．以上都错
9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点 P，Q，R，S共面的是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：空间向量共面求参数
10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量 ， ， ，若 ， ，
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