1.1.2 空间向量的数量积运算-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

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1.1.2 空间向量的数量积运算

【考点梳理】

考点一　空间向量的夹角

1．定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB

叫做向量 a，b的夹角，记

作〈a，b〉．

2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝时，a⊥b.

考点二　空间向量的数量积

定义

已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做 a，b的数量积，记作

a·b.

即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积都为 0.

性质

①a⊥b⇔a·b＝0

②a·a＝a2＝|a|2

运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.

②a·b＝b·a(交换律)．

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).

考点三　向量 a的投影

1．如图(1)，在空间，向量 a向向量 b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α内，进

而利用平面上向量的投影，得到与向量 b共线的向量 c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量 c称为向量 a在向量 b上的投影

向量．类似地，可以将向量 a向直线 l投影(如图(2))．

2．如图(3)，向量 a向平面 β投影，就是分别由向量 a的起点 A和终点 B作平面 β的垂线，垂足分别为 A′，B′，

得到A′B′，向量A′B′称为向量 a在平面 β上的投影向量．这时，向量 a，A′B′的夹角就是向量 a所在直线与平面 β所

成的角．

【题型归纳】

题型一：空间向量的数量积的运算

1．已知在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于 1，且彼此的夹角都是 60°，则此平

行六面体的对角线 AC1的长为（）．

A．6 B．C．3 D．

2．如图，在平行六面体中，，，则

（）

A．1 B．C．9 D．3

3．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：

① ；② ；③ ；④ .

其中正确的个数为（）

A．B．C．D．

题型二：求空间向量的数量积

4．如图，在平行六面体中，，，，则

（）

A．12 B．8 C．6 D．4

5．如图，已知正方体，设，，，则（）.

A．B．C．D．

6．已知四面体，所有棱长均为 2，点 E，F分别为棱 AB，CD 的中点，则（）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模）

7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，

，则的值为（）

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