1 同角三角函数的基本关系（第一课时）学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章

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§1 同角三角函数的基本关系（第一课时）
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、能通过三角函数的定义推导同角三角函数的基
本关系式。
2、掌握同角三角函数的基本关系式。
3、能由一个角的三角函数值求其他三角函数值。
重点：1、同角三角函数基本关系式。
2、同角三角函数基本关系式应用。
难点：由一个三角函数值求其他三角函数值。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材 P138“同角三角函数的基本关系式”部分
如图，任意角
α
的终边与单位圆的交点
P(μ，ν)
，
则
μ=cos α
，
ν=sin α
。
∵OM 2+MP2=OP2
，
∴μ2+ν2=1
，即
sin2α+cos2α=1
。
由正切函数的定义，有
。
【抽象概括】
1、同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
sin2α+cos2α=1
；
（2）商数关系：
tan α=sin α
cos α
。
二、阅读教材 P138—P139“由一个三角函数值求其他三角函数值”部分
例1已知
sin α=4
5
，且角
α
的终边在第二象限，求
cos α
和
tan α
的值。
解：
∵sin 2α+cos2α=1
，
∴cos2α=1−sin2α=1−( 4
5)2=9
25
，
又角
α
的终边在第二象限，
cos α<0
，
∴cos α=−3
5
。
∵tan α=sin α
cos α
，
∴tan α=4
5÷(− 3
5)=− 4
3
。
例2已知
cos α=−12
13
，求
sin α
和
tan α
的值。
解：
∵sin 2α+cos2α=1
，
∴sin 2α=1−cos2α=1−(−12
13 )2=25
169
，
由
cos α=−12
13 <0
知，角
α
的终边在第二或第三象限。
当角
α
的终边在第二象限时，
sin α>0
，所以
sin α=
√
25
169 =5
13
，
tan α=sin α
cos α=5
13 ÷(−12
13 )=− 5
12
。
当角
α
的终边在第三象限时，
sin α<0
，所以
sin α=−
√
25
169 =− 5
13
，
tan α=sin α
cos α=(− 5
13 )÷(−12
13 )= 5
12
。
点评：利用平方关系式
sin2α+cos2α=1
，由
sin α
（或
cos α
）的值，求
cos α
（或
sin α
）的值时，需要开方，符号的选取是由角
α
所在的象限确
定，若角
α
所在的象限未知，注意讨论。
例3已知
tan α=2
，求
sin α
和
cos α
的值。
解：
∵tan α=sin α
cos α=2
，
∴sin α=2 cos α
，
∵sin 2α+cos2α=1
，
∴(2cos α)2+cos2α=1
，
∴cos2α=1
5
，
由
tan α=2>0
知，角
α
的终边在第一或第三象限。
当角
α
的终边在第一象限时，
cos α>0
，所以
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