《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第05课时 椭圆及其性质（解析版）

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第 5 课时 椭圆及其性质
编写：廖云波
【回归教材】
1.椭圆的概念
平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦
点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c为常数：
(1)若a > c ，则集合 P为椭圆； (2)若a ＝ c ，则集合 P为线段； (3)若a < c ，则集合 P为空集．
2.椭圆的标准方程及其几何性质
标准方程 ＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形
性质
范围 －a≤x≤a
、
－b≤y≤b－b≤x≤b
、
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴 A1A2的长为 2 a ；短轴 B1B2的长为 2 b
焦距 |F1F2|＝2 c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 a 2
＝ b 2
＋ c 2
【椭圆的常用结论】
(1)设椭圆 上任意一点 ，则当 时， 有最小值 b，P点在短轴端点
处；当 时， 有最大值 a，P点在长轴端点处．
(2)已知过焦点 F1的弦 AB，则 的周长为 4a
．
(3)通径：过焦点垂直与长轴的弦（最短的焦点弦）
(4)焦半径范围：设 ，F为椭圆焦点，则有 .
(5)焦半径长度：设 ， 分别为左右焦点， .
【典例讲练】
题型一 椭圆的定义及应用
【例 1-1】已知 B(，0)是圆 A： 内一点，点 C是圆 A上任意一点，线段 BC 的垂直平
分线与 AC 相交于点 D.则动点 D的轨迹方程为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】
连接 ，由题意， ，则
，
由椭圆的定义可得动点 D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为 ，长半轴长为 2，
故短半轴长为 1，故轨迹方程为： .
故答案为： .
【例 1-2】已知 是椭圆 ： 的左焦点， 为 上一点， ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义把求 的最小值，也就是求 的最大值，利用几何法得到当 ， ， 共
线（A在中间）时， 最大，即可求解.
【详解】
设 为椭圆右焦点，由椭圆的定义可知， ，
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