《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第05课时 二项式定理（解析版）

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第 5 课时 二项式定理
编写：廖云波
【回归教材】
1.二项式定理
二项式定理
二项展开式 公式右边的多项式
二项式系数 二项展开式中各项的系数
二项展开式的通项 它表示第 k ＋ 1
项
2.二项式系数的性质
性质
对称性 与首末等距的两个二项式系数相等，即
增减性与最大
值
当 时，二项式系数是递增的
当 时，二项式系数是递减的
当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大
当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大
二项式系数的
和
3.【常用结论】
(1) 是第 k＋1项，而不是第 k项．
(2)通项公式中 a，b的位置不能颠倒．
(3)通项公式中含有 a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.
【典例讲练】
题型一 求展开式中的特定项
【例 1-1】用二项式定理展开 ______．
【答案】
【分析】利用二项式定理展开即可.
【详解】 ．
故答案为：
【例 1-2】已知在 的展开式中，第 9项为常数项．求：
(1)实数 的值；
(2)展开式中第 7项的二项式系数和 的系数；
(3)展开式中的所有有理项．
【答案】(1)
(2)二项式系数是 ， 系数为
(3)第1项 ，第 3项 ，第 5项 ，第 7项 ，第 9项 ，第 11 项
【分析】（1）写出二项展开式的通项， ，根据题意求出 的值；
（2）二项式系数即 ，令 ，求出 ，带回通项，得到 的系数；
（3）有理项必须满足 为整数，其中 .
（1）
的展开式的通项为
．
因为第 9项为常数项，所以当 时， ，解得 ．
（2）
由（1）可得第 7项的二项式系数是 ．
令 ，得 ，
所以展开式中 的系数为 ．
（3）
由题意， 为整数，故只需 为偶数．
因为 ，所以符合要求的有 6项，分别为展开式的第 1项 ，第 3项 ，第 5项
，第 7项 ，第 9项 ，第 11 项 ．
【例 1-3】的展开式中的常数项为___________.
【答案】
【分析】现将原式分为两个多项式，分别用二项式定理计算即可.
【详解】 ，
对于 ，通项公式为 ，
令 ，得 r=3， ；
对于 ，通项公式为 ，不存在常数项；
∴常数项为-10；
故答案为：-10.
【例 1-4】的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】 中将 看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令 的指数为 0，即可求解.
【详解】 ，展开式通项为
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