《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点13 圆锥曲线及直线与圆锥曲线位置关系（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 30 4 477.02KB 11 页 3知币

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专题 13 解析几何

易错分析

一、设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在致错

1．直线 l过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F(1,0)，且与 C交于 A，B两点，则 p＝_______，＋

＝________.

【错解】设直线的方程为 l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得 k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝1，＋＝＝＝

＝＝1.综上，＋＝1. 答案：2　1

【错因】

【正解】

2．若直线 l与椭圆 C

：

＋＝1.交于 A，B两点，且|OA＋OB|＝|OA－OB|，求证：直线 l与某个

定圆 E相切，并求出定圆 E的方程．

【错解】∵|OA＋OB|＝|OA－OB|，∴OA⊥OB，则 .

设直线 l的方程为 y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，

则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，化简得 m2<6k2＋3　(*)，

由根与系数的关系得 x1＋x2＝－，x1x2＝，

则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，

由OA·OB＝0，即 x1x2＋y1y2＝0，可得＋＝0，

整理得 m2＝2k2＋2，满足(*)式，∴＝，即原点到直线 l的距离为，

∴直线 l与圆 x2＋y2＝2相切．综上所述，直线 l与圆 E：x2＋y2＝2相切．

【错因】

【正解】

二、当直线的斜率存在时忽略判断斜率是否为零致错

3．若过点 Q的直线 l交椭圆 C：＋y2＝1.于A，B两点，证明：＋为定值．

【错解】设直线 AB 的方程为 x＝ty－，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立

消去 x得(t2＋2)y2－y－＝0，则 Δ＝t2＋(t2＋2)>0 恒成立，由根与系数的关系，

得y1＋y2＝，y1y2＝－，所以＋＝＋＝

＝＝＝＝×＝3.

综上，＋＝3为定值．

【错因】

【正解】

三、忽略圆锥曲线几何性质致错

4．已知 P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为(　　)

A. B.

C．5 D．2

【错解】选B　设 P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，故 x＝4(1－y)，

所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－32＋，

所以当 y0＝－时，|PA|2取得最大值，即|PA|的最大值为 . 故选 C.

【错因】

【正解】

5．若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点 F(－2,0)的直线 l与椭圆交于 A，B两点，已知 AB 的中

点为 M，则椭圆的长轴长为(　　)

A．2 B．4

C. D.

【错解】选C　由焦点 F(－2,0)在x轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为 A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以

作差得＋＝0.(*)，因为直线 l过M及F(－2,0)，且 AB 的中点为 M，

所以 x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1，kl＝＝＝，代入(*)式，

得＋·＝＋×＝0，即 b2＝a2，

因为 c2＋b2＝a2，c＝2，所以 a＝，故选 C.

【错因】

【正解】

6．已知椭圆 C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为 2c，直线 l：y＝x与椭圆 C相交于 A，B两点，

若|AB|＝2c，则椭圆 C的离心率为________．

【错解】设直线 l与椭圆 C在第一象限内的交点为 A(x1，y1)，则 y1＝x1，由|AB|＝2c，

可知|OA|＝＝c(O为坐标原点)，即＝c，所以 x1＝c，

所以 A.把点 A的坐标代入椭圆方程得＋＝1，又 a2＝b2＋c2，

整理得 8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又 0＜e＜1，所以 e＝或 .

【错因】

【正解】

7、若点 F1，F2依次为双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝6，B1(0，－b)，

B2(0，b)．若双曲线 C上存在点 P，使得B1P·B2P＝－2，则实数 b的取值范围为_______．

【错解】设双曲线上的点 P(x，y)满足B1P·B2P＝－2，即 x2＋y2＝b2－2，

又－＝1⇒y2＝x2－b2，∴x2＝2b2－2，即 x2＝2b2－2，

∵|x|≥a⇒x2≥a2，且 c2＝9，∴2b2－2≥9⇒b≥，

∴实数 b的取值范围是。

【错因】

【正解】

8、已知点 P是椭圆 C: 上的动点, ,求的最小值 .

【错解】设 ,则

= = ,

所以 .

【错因】

【正解】

四、有关椭圆方程求参数范围问题忽略分母不等致错

9．若方程＋＝1表示椭圆，则实数 k的取值范围为(　 )

A．(5,7) B．(5,6)　C．(6,7)　D．(5,6)∪(6,7)

【错解】选A　由题意可知，解得 5＜k＜7.

【错因】

【正解】

10．若直线 y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则 m的取值范围是(　 )

A．＋∞) B．(0，＋∞)

C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)

【错解】选A 由于直线 y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则 0<≤1，解

得m≥1.

【错因】

【正解】

五、求离心率考虑不全致错

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