《2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）》第六章计数原理全章题型大总结(精讲）（原卷版）

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第六章计数原理全章总结 (精讲）

一、数学思想方法

1、分类讨论思想

2、整体思想

3、主元思想

4、“正难则反”思想

5、函数思想

二、重点题型精讲

题型 1：两个计数原理的综合应用

角度 1：实际问题中的计数问题

角度 2：代数中的计数问题

角度 3：几何计数问题

角度 4：数字排列问题

角度 5：涂色问题

题型 2：排列应用题

角度 1：全排列问题

角度 2：元素位置有限制问题

角度 3：相邻与不相邻问题

题型 3：组合应用题

角度 1：分组分配问题

角度 2：几何组合计数问题

题型 4：二项式定理

角度 1：二项式系数

角度 2：项的系数

角度 3：二项式定理的应用

一、数学思想方法

1、分类讨论思想

分类讨论思想是一种高级的解题技巧,就是把一个复杂的问题,通过正确的划分,转化为若干个小问题

各个击破,这是我们解决问题时最常用到的策略,相当一部分排列组合的问题需要分类讨论来求解,值得注

意的是,分类时要做到明确分类标准,不重不漏.

1．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域

E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围 ABCD 四个区域中种植鲜花，现有四个品种的

鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（）

A．12 B．24 C．48 D．84

2．（2022 春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）某班级计划安排学号为 1～9的九名同学中的

某5位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，

则不同的安排方法有__________种．(用数字作答)

3．（2022 春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）某校三位同学报名参加数、理、化、生四门学科竞

赛，每人必须报两门，由于数学是该校优势学科，所以至少有两人参赛，若要求每门学科都要有人报名，

则不同的参赛方案有______种

4．（2022 春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）有 6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各

1名，选派 4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种

5．（2022 秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）（1）用 1、2、3、4、5可以组成多少个四

位数？

（2）用 0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

2、整体思想

有时,研究局部问题若能有意识地放大问题的“视角”,将需要解决的问题看作一个整体,通过研究问

题的整体形式、整体结构,从而使问题获解,这就是整体思想本章的整体思想,就是将某些有特殊要求的元

素(如相邻等)看作一个整体参与排列.

1．（2022 春·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）6名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相

邻的站法有（）种

A．240 B．288 C．48 D．580

2．（2022 春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化

学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有____

__种不同的排法

3．（2022·全国·高三专题练习）中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、南岳

衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位．郭靖同学决定利用今年寒假时间，游

览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山，若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序

必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有_____种（用数字作答）．

4．（2022·高二课时练习）把 4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____

_．

5．（2022·高二课时练习）六人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有______种．

3、主元思想

主元思想,就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑安排,抓住主要矛盾,进而达到解题目的.

1．（2022·高二单元测试）5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这 5名同学不

同坐法的种数为（）

A．24 B．36 C．60 D．72

2．（2022·全国·高三专题练习）将语文数学英语物理化学生物六本书排成一排，其中语文数学相､､､､､､

邻，且物理化学不相邻，则不同的排法共有种､___________.（用数字作答）

3．（2022 秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）在 8所高水平的高校代表队中，选

择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（

、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.

4．（2022 秋·浙江绍兴·高二统考期末）现要给1个小品类节目，2个唱歌类节目，2个舞蹈类节目排列演

出顺序，要求同类节目不相邻，则不同的排法有___________种.

5．（2022 秋·陕西渭南·高二统考期末）某高校 2022 级数学兴趣学习小组有男生 3人，女生 2人，这 5人站

成一排合影，其中的甲乙两人不相邻的站法有､___________种.

6．（2022 秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）有甲、乙等 7名同学排成一列照相，求下列排法种

数：

(1)甲乙两人不相邻；

(2)甲在排头并且乙不在末尾.

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