《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第14讲双曲线（原卷版）

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第 14 讲双曲线

【考点梳理】

1.双曲线的定义

平面内与两个定点 F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定

点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，

其中 a，c为常数且 a>0，c>0：

(1)若a < c

时，则集合 P为双曲线；

(2)若a＝c时，则集合 P为两条射线；

(3)若a > c

时，则集合 P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程－＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)

图　形

性

质

范围 x≥a或x≤－a，y∈Rx ∈ R ， y ≤ － a

或

y ≥ a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点 A1( － a ， 0) ， A 2( a ， 0) A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线 y＝±x y ＝ ± x

离心率 e＝，e∈(1，＋∞)

实虚轴

线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫

做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴

长，b叫做双曲线的虚半轴长

a，b，c的关系 c2＝a 2

＋ b 2

【解题方法和技巧】

1.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是

双曲线的一支，则需确定是哪一支．

（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||

PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．

2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略

在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心

率涉及的也比较多．由于 e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c的一个关系式，利用 b2＝c2

－a2消去 b，然后变形求 e，并且需注意 e＞1．

3.圆锥曲线的弦长

（1）圆锥曲线的弦长

直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆

锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．

（2）圆锥曲线的弦长的计算

设斜率为 k(k≠0)的直线 l与圆锥曲线 C相交于 A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝

＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝

，θ为弦 AB 所在直线的倾斜角)．

2 2

2 1 2 1

( ) ( )x x y y  

1k



sin



【考点剖析】

【考点 1】双曲线的定义

一、单选题

1．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点 P在双

曲线的左支上，点 Q为圆上一动点，则的最小值为（）

A．6 B．7 C．D．5

2．（2022·上海·高三专题练习）下列四个选项中正确的是（）

A．关于的方程 ( )的曲线是圆

B．设复数是两个不同的复数，实数，则关于复数的方程的所有解在复平面

上所对应的点的轨迹是椭圆

C．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支

D．双曲线与椭圆有相同的焦点

3．（2022·上海市建平中学高三期中）设、是双曲线 C：的两个焦点，P是C上

一点，若，∠ 是△ 的最小内角，且，则双曲线 C的渐近线方程是

（）

A．B．C．D．

4．（2022·上海·高三专题练习）设是双曲线的右支上的点，则代数式

的最小值为（）

1 2

,F F

: 1

C y 

2 2

: ( 2) 1G x y  

| |PQ PF

3 5

,x y

2 2

0x y Dx Ey F    

, , RD E F 

1 2

,z z 0az

1 2

2z z z z a   

,A B

|PA PB k 

              

2 2

25 9

x y

 

xy 

2 2

1( 0, 0)

x y a b

a b

   

1 2

6PF PF a 

1 2

PF F

1 2

PF F

1 2

30PF F 



2 0x y 

 

,P x y

2 2

5 4

x y

 

2 2 2 2

2 1 6 9x y y x y x      

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