《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题4.1 指数（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 4.1 指数
【考点 1：根式的化简求值】................................................................................................................................. 1
【考点 2：指数幂的计算】.................................................................................................................................... 4
【考点 3：分数指数幂与根式的互化】................................................................................................................. 7
【考点 4：指数幂的化简求值与证明】............................................................................................................... 11
【考点 1：根式的化简求值】
【知识点：根式的概念】
若xn＝a，则 x叫做 a的n次方根，其中 n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里 n叫做根指数，a叫做被开
方数．
1．（2022·全国·高一单元测试）化简
❑
√
(
a −b
)
2+5
√
(
b− a
)
5
的结果是（）
A．0 B．
2
(
b −a
)
C．0或
2
(
b −a
)
D．
2
(
a −b
)
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算化简，然后根据
a , b
的大小关系讨论即可.
【详解】
❑
√
(
a −b
)
2+5
√
(
b− a
)
5=
|
a −b
|
+
(
b − a
)
．
当
a ≥ b
时，原式
；
当
a<b
是，原式
¿b − a+
(
b − a
)
=2
(
b − a
)
．
故选:C．
2．（2022·甘肃省临夏县中学高一阶段练习）二次根式
❑
√
x2=− x
成立的条件是（）
A．
x>0
B．
x ≠ 0
C．
x ≤ 0
D．
x
是任意实数
【答案】C
【分析】根据根式的性质和绝对值的意义可得结果.
【详解】因为
❑
√
x2=¿x∨¿− x
，
所以
x ≤ 0
.
故选：C.
3．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）若
x≠0
，则
|
x
|
-❑
√
x2+
❑
√
x2
|x|
的值为（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用
❑
√
x2=
|
x
|
进行求解.
【详解】因为
x≠0
，所以
|
x
|
-❑
√
x2+
❑
√
x2
|x|=
|
x
|
-
|
x
|
+
|
x
|
|
x
|
=1
.
故选：C
4．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）
2022
√
(−9)2022=¿
__________．
【答案】9
【分析】根据公式
n
√
an=
|
a
|
直接可得.
【详解】
2022
√
(−9)2022=
|
−9
|
=9
.
故答案为：9
5．（2022·全国·高一专题练习）
❑
√
(1− x )2+❑
√
(2− x )2(x ≥ 1)
=__________.
【答案】
¿
【分析】根据
1≤ x ≤2
与
x>2
分类讨论化简即可求解.
【详解】当
1≤ x ≤2
时，
❑
√
(1− x )2+❑
√
(2− x )2=x −1+2− x=1
；
当
x>2
时，
❑
√
(1− x )2+❑
√
(2− x )2=x −1+x −2=2x −3
.
所以
❑
√
(1− x )2+❑
√
(2− x )2=¿
.
故答案为：
¿
6．（2022·全国·高一专题练习）若
b=
❑
√
a2−1+❑
√
1− a2
a+1
，则
a+b=¿
_________．
【答案】
1
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.
【详解】因为
¿
所以
a=1
，此时
b=0+0
2=0
，
所以
a+b=1+0=1
，
故答案为：
1
7．（2022·全国·高一专题练习）二次根式
❑
√
a2=−a
成立的条件是_________
【答案】
a ≤ 0
【分析】利用
❑
√
a2=
|
a
|
得到
|
a
|
=− a
，从而得到
a ≤ 0
.
【详解】二次根式
❑
√
a2=
|
a
|
=− a
，所以
a ≤ 0
.
故答案为：
a ≤ 0
8．（2022·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）如果
❑
√
x+❑
√
y=2❑
√
3
，
x− y=6
，那么
❑
√
x −❑
√
y
的值
是______.
【答案】
❑
√
3
【分析】根据平方差公式即可求解.
【详解】由
❑
√
x+❑
√
y=2❑
√
3
知：
x , y
为非负数，
∵
x − y=
(
❑
√
x+❑
√
y
) (
❑
√
x −❑
√
y
)
，
❑
√
x+❑
√
y=2❑
√
3
∴
❑
√
x −❑
√
y=6
2❑
√
3=❑
√
3
故答案为：
❑
√
3
9．（2022·全国·高一专题练习）已知
❑
√
x=1
❑
√
a−❑
√
a
，则
❑
√
4x+x2=¿
________
【答案】
1
a− a
【分析】由题意可得
1
❑
√
a−❑
√
a ≥0
，求出
x
，再将
4x+x2
用
a
表示，从而可得出答案.
【详解】解：∵
❑
√
x=1
❑
√
a−❑
√
a ≥0
，∴
x=
(
1
❑
√
a−❑
√
a
)
2
=1
a−2+a
，
又∵
4x+x2=x
(
4+x
)
=
(
1
❑
√
a−❑
√
a
)
2
(
1
a+2+a
)
=
(
1
❑
√
a−❑
√
a
)
2
⋅
(
1
❑
√
a+❑
√
a
)
2
，
∴
❑
√
4x+x2=
(
1
❑
√
a−❑
√
a
)(
1
❑
√
a+❑
√
a
)
=1
a− a
.
故答案为：
1
a− a
.
10．（2022·全国·高一单元测试）计算：
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