专题17 最值问题中的将军饮马模型(原卷版)

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专题 17 最值问题中的将军饮马模型

【模型展示】

特点

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜

访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营 A出发，先到河边饮(yìn)马，然

后再去河岸同侧的 B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为"将军饮马"的问

题广泛流传。

实际问题：应该怎样走才能使路程最短?

作图问题：在直线 l上求作一点 C,

使AC+BC 最短问题.

结论 AC+BC 最短

【模型证明】

解决方案 (1)现在假设点 A,B 分别是直线 l异侧的两个点，如何在 l上找到一个点，使得这个点到点 A，

点B的距离的和最短？

连接 AB,与直线 l相交于一点 C.

AC+BC 最短（两点之间线段最短）

(2)现在假设点 A,B 分别是直线 l同侧的两个点，如何在 l上找到一个点，使得这个点到点 A，

点B的距离的和最短？

作法：

（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；

（2）连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．

则点 C 即为所求．

所作的 AC +BC 最短吗？请说明理由？

【证明】

如图，在直线 l 上任取一点 C′（与点 C 不重合），

连接 AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC =B′C，BC′=B′C′．

∴AC +BC= AC +B′C = AB′，

AC′+BC′= AC′+B′C′．

在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，

∴AC +BC＜AC′+BC′．

即AC +BC 最短．

【题型演练】

一、单选题

1．如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E是DC 上一个点，且 DE＝1，P点在 AC 上移动，则 PE＋PD 的

最小值是（）

A．4 B．4.5 C．5.5 D．5

2．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M在DC 上，且 DM=1，N是AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值

为（）

A．4 B．C．D．5

3．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最

小值是（）

A．B．

C．D．

4．如图，等边△ABC 的边长为 6，AD 是BC 边上的中线，M是AD 上的动点，E是边 AC 上一点，若 AE＝

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