专题08 全等三角形中的角平分线模型(原卷版)

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专题 08 全等三角形中的角平分线模型
【模型展示】
特点
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角
相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
结论 三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等
【模型证明】
解决方案 角平分线+垂直两边型
角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个 RT 三角形全等．
D
F
E
O
C
B
A
【证明】
∵ OC 为∠AOB 的角平分线，
D为OC 上一点 DE OA⊥，DF OB⊥
∴
∴DE=DF
角平分线+垂直角平分线型
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而
得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
C
Ｃ
O
B
Ｂ
A
A
A
Ｎ
Ｍ
Ｏ
角平分线+平行线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ ON∥，交 OM 于点 Q。
结论：△POQ 是等腰三角形。
【证明】
∵PQ ON∥
∴∠PON= OPQ∠
又∵OP 是∠MON 的平分线
∴∠POQ= PON∠
∴∠POQ= OPQ∠
∴△POQ 是等腰三角形
【题型演练】
一、单选题
1．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且 BD=BC，E为BD 延长线上的一点，BE=BA，过 E作
EF AB⊥，F为垂足，下列结论：①△ABD EBC BCE+ BCD=180° AD=AE=EC BA+BC=2BF≌△ ②∠ ∠ ③ ④
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
2．如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E、F分别是 AB、AD 上任意的点（不与端点重合），且
AE=DF，连接 BF 与DE 相交于点 G，连接 CG 与BD 相交于点 H．给出如下几个结论：①
△AED DFB≌△ ；② S四边形 BCDG=；③若 AF=2DF，则 BG=6GF；④ CG 与BD 一定不垂直；⑤
∠BGE 的大小为定值．
其中正确的结论个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图， 中， ， 的角平分线 、 相交于点 ，过 作 交 的延
长线于点 ，交 于点 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 四边形
，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
4．已知，△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则 AD 的长是______
__．
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